найти матрицу линейного преобразования в другом базисе

Позволять$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^T$быть координаты точки в$e$-основа и пусть$\mathbf{y} = (y_{1}, y_{2}, y_{3})^T$- координаты одной и той же точки на$f$-основа.

Это одна и та же точка, поэтому нам потребуется следующее условие.

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} \mathbf{f}_{1} + y_{2} \mathbf{f}_{2} + y_{3} \mathbf{f}_{3}$$

Вопрос указывает способ написания$f$-базисные векторы в терминах$e$-базисные векторы:

$$\begin{aligned} \mathbf{f}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{f}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{f}_3 &= \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3 \end{aligned}$$

Мы можем подставить эти формулы в уравнение для координат выше

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} (\mathbf{e}_{1} + \mathbf{e}_{2}) + y_{2} \mathbf{e}_{2} + y_{3} (\mathbf{e}_{1} - \mathbf{e}_{3})$$

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} \mathbf{e}_{1} + y_{1} \mathbf{e}_{2} + y_{2} \mathbf{e}_{2} + y_{3} \mathbf{e}_{1} - y_{3} \mathbf{e}_{3}$$

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = (y_{1} + y_{3}) \mathbf{e}_{1} + (y_{1} + y_{2} ) \mathbf{e}_{2} - y_{3} \mathbf{e}_{3}$$

Сейчас$\mathbf{e}_1$,$\mathbf{e}_2$и$\mathbf{e}_3$являются тремя линейно независимыми векторами, так что компоненты каждого вектора можно приравнять по обе стороны от приведенного выше. То есть мы можем написать:

$$\begin{aligned} x_1 &= y_1 + y_3 \\ x_2 & = y_1 + y_2 \\ x_3 &= -y_3 \end{aligned}$$

Следующее точно такое же, как и выше, с немного другим интервалом.

$$\begin{aligned} x_1 &= y_1 & &+y_3 \\ x_2 & = y_1 &+ y_2 & \\ x_3 &= & &-y_3 \end{aligned}$$

Записав уравнения, связывающие координаты таким образом, мы можем увидеть, как множество может быть записано как одно матричное уравнение:

$$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \mathbf{y}$$

Это показывает, как мы можем использовать матрицу для преобразования координат в$f$-базис к координатам в$e$-основа, т.е.$\mathbf{x} = T \mathbf{y}$, т.е. представляет собой матрицу$T$в формуле

$$A' = T^{-1} A T$$

где$A$это преобразование, которое применяется к координатам в$e$-основа. Вышеприведенная формула применяется

Найдя$T$, мы можем найти его обратное (вручную или с помощью некоторого программного обеспечения):

$$T^{-1} = \begin{pmatrix} 1& -1& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 1& -1& -1 \end{pmatrix}$$

и, наконец, мы можем вычислить$A'$

$$A' = \begin{pmatrix} -3& -2& -2 \\ 3& 3& -1 \\ -7& -1& -6 \end{pmatrix}$$ которая представляет собой матрицу преобразования, применяемого к координатам в $f$-основа.

---

Следующая часть посвящена тому, как выводится формула, связывающая две матрицы преобразования в разных основаниях.

Если мы напишем$\mathbf{u}$за результат применения$A$к$e$-базисный вектор$\mathbf{x}$а если мы напишем$\mathbf{v}$за результат применения$A'$к$f$-базисный вектор$\mathbf{y}$.

$$\begin{aligned} \mathbf{u} &= A \mathbf{x} \\ \mathbf{v} &= A' \mathbf{y} \\ \end{aligned}$$

Векторы$\mathbf{x}$и$\mathbf{y}$соответствуют одной и той же точке в двух разных основаниях, как и пара векторов$\mathbf{u}$и$\mathbf{v}$. Другими словами, их можно записать:

$$\begin{aligned} \mathbf{x} &= T \mathbf{y} \\ \mathbf{u} &= T \mathbf{v} \\ \end{aligned}$$

Это означает, что мы можем написать следующее

$$\begin{aligned} \mathbf{u} &= T \mathbf{v} \\ A \mathbf{x} &= T \mathbf{v} \\ A \mathbf{x} &= T A' \mathbf{y} \\ A T\mathbf{y} &= T A' \mathbf{y} \\ T^{-1} A T\mathbf{y} &= A' \mathbf{y} \\ \end{aligned}$$ Так как это работает для всех $\mathbf{y}$мы можем заключить, что $T^{-1} A T = A'$.

$T$это матрица, столбцы которой$f_1, f_2, f_3$. То есть:

$$T=\begin{pmatrix}2&-1&-3\\6&0&-1\\-2&5&4 \end{pmatrix}$$

Вам просто нужно вычислить обратное и применить вашу формулу.