Элементы матрицы зависят от баз домена и диапазона?

Рассмотрим основу Б "=" { в 1 , … , в н } из р н , и написать С "=" { е 1 , … , е н } иметь в виду стандартную основу.

Тогда это означает (среди прочего), что в я е р н , и, следовательно, я могу написать каждый в я на стандартной основе как:

в я "=" ∑ Дж "=" 1 н а Дж я е Дж ,
Итак, я полагаю, я говорю, что у меня есть изменение базовой матрицы:
( а я Дж ) я Дж
где действительно (и аналогично для других в я написано в основе Б ),
[ а 11 а 12 … а 1 н ⋱ ⋱ а н 1 а н 2 … а н н ] [ 1 0 ⋮ 0 ] Б "=" [ а 11 а 21 ⋮ а н 1 ] С
где я использовал нижний индекс для обозначения базы, относительно которой написан этот вектор.

Я полагаю, что элементы матрицы зависят от векторов в домене и изображении. Обычно ли обозначают матрицу способом, который кодирует основу источника и цели?

Я полагаю, я прошу эту матрицу А "=" ( а я Дж ) я Дж : р н → р н быть изоморфизмом, и я говорю, что А : В → Вт где В свободно генерируется { в 1 , … , в н } и Вт свободно генерируется { е 1 , … , е н } .

Ответы (2)

Есть разница между «матрицей» и «линейным оператором между конечномерными векторными пространствами».

Матрица — это просто формальная таблица чисел, функций, букв и т. д.

Линейный оператор между двумя конечномерными вещественными векторными пространствами представляет собой линейное отображение между В и Вт , где В и Вт являются векторными пространствами с тусклый ⁡ В "=" н и тусклый ⁡ Вт "=" м (и так В ≅ р н и Вт ≅ р м ). Как линейный оператор ф : В → Вт полностью определяется образом векторов базиса, чтобы найти действие ф достаточно взять за основу { е 1 , … , е н } из В и вычислить ф ( е 1 ) , … , ф ( е н ) . Это будут векторы в Вт , поэтому может быть выражено через базис Вт , сказать { л 1 , … , л м } , то есть

ф ( е я ) "=" ∑ к "=" 1 м а я к л к
где а я к , я "=" 1 , … , н , к "=" 1 , … , м являются действительными числами. Они определяют матрицу ( а к я ) , которая является матрицей, связанной с ф . В этом контексте элементы матрицы естественным образом зависят от выбранных оснований.

Столбцы вашей матрицы А "=" ( а я Дж ) точно координаты каждого нового базиса Б вектор относительно стандартной основы { е 1 , … , е н } . Для каждого Дж колонка Дж из А дает вам упорядоченные координаты нового базисного вектора в Дж е Б относительно канонического базиса С "=" { е 1 , … , е н } . В уравнениях:

[ в я ] С "=" [ а 1 Дж а 2 Дж ⋮ а н Дж ] "=" А [ 0 0 ⋮ 1 ⋮ 0 ]
где е Дж "=" [ 0 0 ⋮ 1 ⋮ 0 ] имеет 1 на позиции Дж и 0 в другом месте.

Элементы матрицы зависят от баз домена и диапазона?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v