Матрицы со строками из произвольного векторного пространства (и умножение на числовые матрицы)

Матрицы состоят из элементов некоторого поля. Однако, если у нас есть матрица$A\in M_{m,n}(F)$, иногда полезно рассматривать каждую строку как вектор из$F^n$, т. е. мы можем рассматривать матрицу как

Иногда может быть полезно сделать то же самое с векторами из произвольного векторного пространства.$V$над полем$F$. Т.е. мы можем использовать обозначение

Это просто другое обозначение для упорядоченного$n$-кортеж векторов. Но по крайней мере в чем-то они похожи на матрицы. Например, мы можем умножить такую ​​матрицу на$A\in M_{k,m}(F)$ слева, чтобы получить

Мы также можем сложить эти матрицы и умножить их на скаляр. С этими определениями все еще сохраняются некоторые свойства обычного умножения матриц - для разрешенных произведений. Например, ассоциативность.$A(B\mathbf{C})=A(B\mathbf{C})$или дистрибутивность - оба$(A+B)\mathbf{C}$и$A(\mathbf{C}+\mathbf{D})$.

Также некоторые свойства, действительные для ранга, по-прежнему действительны для размерности векторного пространства, генерируемого строками. (Например, если$A$обратим, то «ранг»$\mathbf B$и$A\mathbf B$та же. «Ранг»$A\mathbf B$ограничена сверху рангом$A$а также по "званию"$\mathbf B$.)

Мы не можем умножать справа, но мы все еще можем «отменять» справа в том смысле, что если ряды$\mathbf B$линейно независимы, то$A\mathbf{B}=\mathbf{0}$подразумевает$A=0$и$A_1\mathbf{B}=A_2\mathbf{B}$подразумевает$A_1=A_2$.

Это обозначение можно использовать, например, для компактного обозначения матрицы перехода между двумя основаниями, написав$\mathbf B_2=M\mathbf{B_1}$. (И некоторые доказательства матриц перехода можно было бы записать довольно компактно, используя это обозначение. Другое возможное преимущество этого обозначения состоит в том, что если мы будем осторожны, выполняя только «разрешенные» умножения, то мы сможем использовать многие свойства обычного матричного умножения. - которые через некоторое время тратятся на линейную алгебру и матрицы используются почти автоматически.)

Вопрос. Есть ли какой-нибудь текст, использующий этот формализм, где мы можем умножать на «нечисловые» матрицы со строками (или столбцами), состоящими из векторов из произвольного векторного пространства (не обязательно$n$-кортежи? Есть ли ситуации, когда использование этого подхода дает какие-то преимущества?

Замечание 1. В некотором смысле вышеприведенные соображения можно легко обойти. Если мы работаем с типом «матриц», как указано выше, мы можем просто взять конечномерное подпространство$S$который содержит строки всех матриц, которые нам нужны в данный момент. (Например, все строки, которые появляются в некоторой «матричной» идентичности, на которую мы смотрим. Или, если$V$конечномерна, мы можем просто взять$S=V$.) Если мы зафиксируем некоторый базис для$S$, это индуцирует и изоморфизм между$S$и$F^n$, где$n=\dim(S)$и мы получаем естественную карту$\mathbf{B} \mapsto B\in M_{m,n}$. Как только мы установили основу для$S$, любой результат, касающийся умножения "матриц", теперь просто обычное умножение - нам просто нужно все перенести через этот изоморфизм. Тем не менее, мне было любопытно, может ли иногда быть полезным избежать необходимости фиксировать базу и перемещать вещи, используя соответствующий изоморфизм.

Замечание 2. Методы суммирования матриц можно рассматривать как умножение бесконечной матрицы (размерности "$\mathbb N\times\mathbb N$") последовательностью, рассматриваемой как бесконечный вектор. Хотя в таких "матрицах" строки не имеют конечного числа координат, это отличается от того, что я имею в виду, поскольку я работаю здесь с матрицами, имеющими конечное число строк.