Найти условие скачка величины костной массы задачи о подъеме ракеты-носителя, решаемой косвенным методом (принцип минимума Понтрягина).

Я пытаюсь решить задачу оптимизации траектории для класса задач, подобных старым ракетам-носителям Altas-Centaur SLV3 Centaur. Это полуторный дизайнгде 2 двигателя LR-87 сбрасываются в оптимальное время, а ракета продолжает движение на маршевом LR-105. Поскольку это оптимизированное время подготовки, которое имеет две разные фазы горения по обе стороны от него, а не переход горения-выбега - с разрывами массы/тяги/исп - ни один из типичных математических приемов, чтобы исключить интегрирование массы применяется костяк. Я полагаю, что способ решить эту проблему (?) состоит в том, чтобы интегрировать базис массы и применить угловое условие Вейерштрауса-Эрдмана к непрерывности гамильтониана во время постановки. Однако без учета разрыва в массе ребер существует разрыв в гамильтониане, и поэтому это ограничение не может быть применено.

Я решил это, обернув задачу оптимизации с фиксированным временем строковым поиском оптимизированного времени и убедившись, что моя проблема имеет разумное оптимальное значение. Я также подтвердил, что, за исключением разрывов, расчет полного гамильтониана является ступенчато-постоянным, учитывая мое интегрирование реберной массы. Для различных траекторий с фиксированным временем стадий вокруг оптимального решения разрыв в значении гамильтониана изменяется.

Подход, который я использую, аналогичен подходу, например, Lu, et al. 2008, хотя я только решаю проблему вакуума и использую интегратор ОДУ вместо аналитических решений линеаризованной задачи гравитации. Применяется такое же числовое условие, так что г 0 "=" мю / р 0 2 а расстояния масштабируются р 0 скорости на р 0 г 0 и время р 0 / г 0 . Поэтому я минимизирую интегрированную тягу:

Дж "=" − ∫ т 0 т ф Т с д т

С гамильтонианом:

ЧАС "=" п р Т В − п В Т р р 3 + п В Т 1 Т А Т − п м Т с − Т с "=" п р Т В − п В Т р р 3 + Т ( п В Т 1 Т м г 0 − п м с − 1 с ) "=" ЧАС 0 + Т С

Обратите внимание, что это отличается от уравнения 10 в приведенной выше ссылке из-за того, что не используется приближение линеаризованной гравитации (что не должно иметь значения). Для большинства типичных проблем с выгоранием мы можем написать ЧАС 0 − + Т − С − "=" ЧАС 0 + + Т + С + и мы можем использовать постоянство ЧАС 0 через побережье и что один из Т − или Т + равны нулю, чтобы упростить ограничения. В этом случае ни одна из сторон не является побережьем, поэтому ЧАС 0 нигде не постоянна, и T также не равно нулю по обе стороны от угла.

Интеграция стоимости массы и конечного ограничения для задачи свободного конечного времени:

п м ′ "=" Т | п В | м 2 г 0 п м ( т ф ) "=" 0

Остальную часть проблемы интеграции государства и других государств я опущу, но примеры есть в приведенной выше статье.

Если времена т 0 , т 1 , т 2 , т ф соответствуют запуску, сбросу двигателей, сбросу ступени атлас и конечному (свободному) выводу в орбитальные условия. Затем я пытаюсь использовать ограничение:

ЧАС ( т 1 ) − "=" ЧАС ( т 1 ) + + Δ ЧАС

Я могу решить это с помощью подстановки, но это не ограничивает проблему, это просто тавтология. мне нужно найти это Δ ЧАС через другие средства. Обратите внимание, что также есть разрыв в т 2 за счет массового сброса, но это время не оптимизировано, а фиксируется выбором т 1 и ограничение выработки топлива для маршевой ступени.

Ответы (1)

Думаю, я решил это, хотя есть некоторые пробелы, которые я не совсем понимаю.

Первая проблема заключается в том, что это не та проблема, которую можно решить путем минимизации интегрального ускорения тяги. Решение этой проблемы приводит к сжиганию ускорителей вместе с маршевым двигателем до тех пор, пока бак не опустеет, что приводит к уменьшению конечной массы. Для решения полуторастадийной задачи метрика должна быть такой, чтобы максимизировать конечную массу. Дж "=" − м ф .

Тогда гамильтониан теряет − Т / с термин, условие трансверсальности на массовом ребере становится п м ( т ф ) "=" 1 , а теперь для этого требуется интегрировать массовую стоимость. Это приводит ко всем числовым проблемам, упомянутым в статье, которую я цитировал выше, что может помочь путем нормализации массы с помощью м 0 судна (и нормирующих сил и т.д.).

Как только мы это сделаем, мы можем использовать Брайсона и Хо, раздел 3.7, «Разрывы переменных состояния во внутренних точках» (стр. 106). Вызов ракеты-носителя т 1 и стабилитронная отсечка т 2 у нас есть совершенно бесплатная точка на т 1 поэтому в уравнении 3.7.13 мы будем иметь ∂ ф ∂ т 1 "=" 0 что приводит к непрерывности гамильтониана через т 1 , так ЧАС + ( т 1 ) − ЧАС − ( т 1 ) "=" 0 .

У нас есть Φ "=" − м ф + ν ( м − ( т 1 ) − м + ( т ф ) − Δ м 1 и применяя 3.7.11 и 3.7.12 и тривиально исключая ν приводит к непрерывности реберной массы в момент времени t_1, поэтому: п м − ( т 1 ) − п м + ( т 1 ) "=" 0 . Это дает нам одно условие непрерывности состояния массы и одно условие для параметра свободного времени в сочетании с остальными условиями непрерывности (или разрыва в случае массы), что завершает необходимые уравнения при т 1 . Я бы ожидал разрыва в массе и/или гамильтониане здесь, но другое чтение, которое я сделал, указывает на то, что в таких оптимизированных внутренних точках разрывы «устранимы».

Для т 2 Я несколько сбит с толку, потому что кажется, что время должно быть установлено выбором т 1 и динамику, так что я ожидал бы условия скачка в гамильтониане, и ожидал бы, что костная масса будет непрерывной. После того, как я просто немного поработал над проблемой, я получил правильные ответы от установки ЧАС + ( т 2 ) − ЧАС − ( т 2 ) "=" 0 и допуская разрыв в массовом реостате (это уравнение опущено в задаче, поскольку т 2 не является свободным параметром). Для времени записи терминала я использую ЧАС ( т ф ) "=" 0 и должны использовать это и не могут использовать какие-либо приемы, обычно используемые с задачей Лагранжа о минимизации интегрированного ускорения тяги. Я также пришел к выводу, что гамильтониан должен быть непрерывным, а релейная стоимость скачет, чтобы контрастировать с результатами, полученными при выполнении простых многоступенчатых транспортных средств с интеграцией массовых ребер, где в фиксированных внутренних точках гамильтониан скачет из-за сброса массы, а релейная стоимость должна быть непрерывной. .

Полученная проблема чувствительна к начальным условиям и более чувствительна, чем типичная проблема ракеты. Кажется, лучше всего применить некоторую «автомобильную гомотопию» и решить проблему, не сбрасывая ускорители до выгорания маршевого двигателя (исправлено). т 1 "=" т 2 ) и применение бесконечного ISP к верхнему этапу (используя типичную формулировку Лагранжа и опуская интегрирование стоимости массы), затем использование стоимости и значений из этой решенной задачи в качестве начального приближения к реальной проблеме с надлежащей верхней стадией и позволяя т 1 держаться на плаву. Начальное предположение о массе может быть определено путем интегрирования оставшейся части начального предположения вперед с использованием реального транспортного средства, а затем обратного интегрирования значения массы из п м ( т ф ) "=" 1 терминальное состояние.

В итоге:

  1. Преобразовать в задачу Майера о максимальной конечной массе
  2. Рассчитать массовую стоимость
  3. Применить нормализацию к массе
  4. Сначала решите задачу Лагранжа о нормальном ускорении тяги на аналогичном идеализированном транспортном средстве, чтобы заложить догадку.

Дополнительные условия, соответствующие временам и массе, становятся следующими:

ЧАС + ( т 1 ) − ЧАС − ( т 1 ) "=" 0 п м − ( т 1 ) − п м + ( т 1 ) "=" 0 ЧАС + ( т 2 ) − ЧАС − ( т 2 ) "=" 0 ЧАС ( т ф ) "=" 0 п м ( т ф ) − 1 "=" 0

Шестого условия нет, потому что т 2 не является бесплатным и определяется т 1 динамику маршевого двигателя и конечную массу.

Таким образом, здесь все еще остается вопрос о том, почему сброс маршевого двигателя после того, как в нем закончилось топливо, приводит к скачку стоимости массы, а сброс сгоревшей ступени в обычной ракете приводит к скачку гамильтониана. Я могу как бы прищуриться и увидеть, что так и должно быть, потому что время не точно фиксировано и зависит от предшествующего времени и динамики, но я не знаю, как это выразить формально.
Найти условие скачка величины костной массы задачи о подъеме ракеты-носителя, решаемой косвенным методом (принцип минимума Понтрягина).
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v