Не должно ли соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением быть τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha\sin\theta?

Question

Не должно ли соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением быть τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha\sin\theta?

крутящий момент
Физика
момент инерции
ньютоновская механика
динамика вращения
вращательная кинематика

пытающийся быть зверем

Согласно расширенному 10-му изданию Fundamentals of Physics, написанному Halliday, Walker & Resnick , соотношение между крутящим моментом $(\tau)$ и момент инерции $(I)$ и угловое ускорение $(\alpha)$ является $\tau = I\alpha$ , и у меня нет проблем с этим отношением.

Я думаю, что альтернативное правильное отношение может быть $\tau = I\alpha \sin\theta$ . Как $\tau=Fr$ использовалась при выводе формулы, получаем $\tau = I\alpha$ . Вместо этого, если $\tau = Fr\sin\theta$ использовалось в выводе, мы бы получили $\tau = I\alpha \sin\theta$ .

Если мы хотим использовать $Fr\sin\theta$ для получения соотношения между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением мы можем увидеть вывод ниже:

$\tau=Fr_1\sin\theta$

$\implies \tau=m_1a_1r_1\sin\theta$

$\implies \tau=m_1\alpha r_1 r_1\sin\theta$

$\implies \tau=\alpha m_1\sin\theta(r_1)^2$

$\implies \tau_\text{net}=\alpha \sin\theta[m_1r^2_1+m_2r^2_2+m_3r^2_3+...]$

$\implies \tau_\text{net}=mr^2\alpha \sin\theta$

$\implies \tau_\text{net}= I\alpha \sin\theta$

Чтобы доказать, что моя формула верна, я проведу математические вычисления как с моей формулой, так и с $\tau=I\alpha$ :

Точечная масса ( $m = 3 \;\text{kg}$ ) вращается по окружности радиусом $2 \;\text{m}$ . Если сила $\vec F \ (|\vec F|=5 \;\text{N})$ что не перпендикулярно $\vec r$ действует на точечную массу, каков будет приложенный крутящий момент, $\tau$ ?

С использованием $\tau=I\alpha$ :

$\tau=I\alpha$

$\implies \tau=mr^2\times\frac{a}{r}$

$\implies \tau=3\times2^2\times\frac{\frac{5\times\sin(30)}{3}}{2}$

$\implies \tau=5 \;\text{N}\,\text{m}$

С использованием $\tau= I\alpha \sin\theta$ :

$\tau= I\alpha \sin\theta$

$\implies \tau=mr^2\times\frac{a}{r}\times \sin\theta$

$\implies \tau=3\times2^2\times\frac{\frac{5}{3}}{2}\times\sin 30°$

$\implies \tau=5 \;\text{N}\,\text{m}$

Итак, мы видим, что моя формула и $\tau=I\alpha$ это одни и те же формулы. Когда $\theta=90°$ , то есть когда $\vec F$ & $\vec r$ перпендикулярны, то моя формула также становится $\tau=I\alpha\times\sin 90°$ $\implies \tau=I\alpha$ . Итак, мой вывод и формула законны по вышеуказанным причинам. Как я ошибаюсь?

Коннор Бехан

Что они называют

F_{t}

$F_t$ (и правильно относиться к угловому ускорению) уже имеет

\sin θ

$\sin \theta$ впитывается.

пытающийся быть зверем

@ConnorBehan Итак, я прав, что формула

τ = I α s i n θ

$\tau = I\alpha sin\theta$ ?

Коннор Бехан

Нет. Когда вы видите

\sin θ

$\sin \theta$ , это верный признак того, что уравнение действительно является векторным произведением двух векторов. Но

I

$I$ не является вектором.

Ричард Майерс

@user545735 user545735 (не знаю, будет ли это правильно пинговаться), чтобы убедиться, что вы получаете то, что ищете, от своей награды, можете ли вы уточнить, что вы ищете в ответе? Должны ли они быть только алгебраическими или допустимы векторные операции (точечные произведения, перекрестные произведения и т. д.)? И т. д?

ДжейАлекс

Для удобочитаемости используйте \sinи \cosв математических выражениях. Вы замечаете разницу

τ = I α \sin θ

$\tau = I \alpha \sin \theta$ ?

пытающийся быть зверем

Ребят, я отредактировал вопрос. Не могли бы вы взглянуть на это? Заранее спасибо!

Майкл Зайферт

В вашем примере вы, кажется, используете

a = 5 / 3

$a = 5/3$ в одном случае и

a = 5 \sin (30 °) / 3

$a = 5 \sin(30°)/3$ в другом. Либо это непреднамеренно непоследовательно, либо вы используете другое определение для

a

$a$ в каждом уравнении, что кажется излишне запутанным.

пытающийся быть зверем

Я использую другое определение для

a

$a$ в каждом уравнении.

Ответы (3)

Не должно ли соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением быть τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha\sin\theta?

Что они называют $F_t$ (и правильно относиться к угловому ускорению) уже имеет $\sin \theta$ впитывается.
@ConnorBehan Итак, я прав, что формула $\tau = I\alpha sin\theta$ ?
Нет. Когда вы видите $\sin \theta$ , это верный признак того, что уравнение действительно является векторным произведением двух векторов. Но $I$ не является вектором.
@user545735 user545735 (не знаю, будет ли это правильно пинговаться), чтобы убедиться, что вы получаете то, что ищете, от своей награды, можете ли вы уточнить, что вы ищете в ответе? Должны ли они быть только алгебраическими или допустимы векторные операции (точечные произведения, перекрестные произведения и т. д.)? И т. д?
Для удобочитаемости используйте \sinи \cosв математических выражениях. Вы замечаете разницу $\tau = I \alpha \sin \theta$ ?
Ребят, я отредактировал вопрос. Не могли бы вы взглянуть на это? Заранее спасибо!
В вашем примере вы, кажется, используете $a = 5/3$ в одном случае и $a = 5 \sin(30°)/3$ в другом. Либо это непреднамеренно непоследовательно, либо вы используете другое определение для $a$ в каждом уравнении, что кажется излишне запутанным.
Я использую другое определение для $a$ в каждом уравнении.

Райдер Руд · Answer 1

Дело в том, что отношение $a_t=\alpha r$ дает тангенциальную составляющую ускорения $a$ , т.е. $a_t=a\sin{\theta}$ . Вы можете увидеть это, дифференцируя $\vec{v}=\vec{\omega}\times \vec{r}$ . Вы получите $\vec{a}=\vec{\alpha}\times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$ . Второй член направлен вдоль $\vec{r}$ и называется радиальным ускорением. Первый срок $\vec{\alpha}\times \vec{r}$ перпендикулярно $\vec{r}$ и называется тангенциальным ускорением. Таким образом, тангенциальное ускорение является лишь частью общего ускорения. $\vec{a}$

Даже $\vec{\omega} \times \vec{r}$ дает только тангенциальную скорость. Поскольку это векторное произведение перпендикулярно $\vec{r}$ , у него не может быть радиальной составляющей. Но дело в том, что радиальная составляющая равна 0. Поскольку все частицы движутся по кругу, тангенциальная скорость равна полной скорости $\vec{v}$ . Все меняется, когда мы говорим о полном ускорении $\vec{a}$ потому что для того, чтобы любая частица двигалась по окружности, она должна испытывать центростремительное ускорение, направленное по радиусу.

т "=" Ф р грех θ

$\tau=Fr\sin{\theta}$

"=" м р а грех θ

$=mra\sin{\theta}$

"=" м р а_{т}

$=mra_t$

"=" м р^{2} α

$=mr^2\alpha$

"=" я α

$=I\alpha$

ДжейАлекс · Answer 2

Отношение $\tau = I \alpha$ является правильным. Он связывает крутящий момент относительно оси с угловым ускорением относительно той же оси, а также момент инерции массы относительно этой оси.

Это правда, что если $\tau$ является результатом силы смещения $F$ на расстоянии радиуса $r$ , с углом $\theta$ между направлением силы и радиальным направлением, тогда

т "=" (р грех θ) Ф

$\tau = (r \sin \theta) F$

Но это только что описало левую сторону $\tau = I \alpha$ производить

(р грех θ) Ф "=" я α

$(r \sin \theta) F = I \alpha$

Здесь $r \sin \theta$ плечо момента $F$ об оси.

В вопросе вы слепо подставляете $F = m a$ без учета всех возможных сил, действующих на тело (например, силы реакции штифта), и без учета того, в каком направлении действует сила $F$ действует и в каком направлении ускорение $a$ возможный.

Вот где ваша последовательность уравнений развалилась.

Чтобы вывести $\tau = I \alpha$ вы суммируете все индивидуальные угловые моменты каждой частицы в теле, чтобы показать, что $H = I \omega$ . Затем используйте второй закон Ньютона, связывающий силу с производной поступательного импульса, для каждой частицы тела, чтобы найти, что

т "=" \frac{г}{г т} ЧАС "=" \frac{г}{г т} (я ю) "=" я α

$\tau = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} H = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (I \omega) = I \alpha$

Еще лучше прочитать о выводе уравнений движения Ньютона-Эйлера по вектору из

\begin{aligned} \sum Ф & "=" м а \\ \sum т & "=" я α + ю \times я ю \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum \boldsymbol{F} & = m \boldsymbol{a} \\ \sum \boldsymbol{\tau} & = \mathrm{I} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathrm{I} \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$

Спасибо за ваш ответ! У меня был вопрос о вашем ответе. Вы говорите, что моя замена $F=ma$ был неверным, но Холлидей в своем выводе также использовал $F=ma$ вывести $\tau=I\alpha$ . В чем разница между моим и его выводом?
@AbuSafwan - я не могу комментировать Холлидея, так как не читал его. Я знаю, что для завершения вывода, связывающего крутящий момент и силу, вам также нужна кинематика, связывающая угловое движение с линейным. Я также думаю, что вам нужно отредактировать свой вопрос, чтобы добавить детали, например, это свободное тело или закрепленное тело? Также информация, представленная в вашем «ответе», действительно относится к вопросу, и ответ следует удалить.
Не могли бы вы увидеть мой отредактированный вопрос? Заранее спасибо!

РВ Берд · Answer 3

The $\sin(\theta)$ входит в определение крутящего момента, в котором используется только составляющая силы, совершающая работу в тангенциальном направлении.

Не должно ли соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением быть τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha\sin\theta?

пытающийся быть зверем

Коннор Бехан

пытающийся быть зверем

Коннор Бехан

Ричард Майерс

ДжейАлекс

пытающийся быть зверем

Майкл Зайферт

пытающийся быть зверем

Ответы (3)

Райдер Руд

ДжейАлекс

пытающийся быть зверем

ДжейАлекс

пытающийся быть зверем

РВ Берд

Как масса влияет на скольжение?

Причины использования углового момента, крутящего момента и момента инерции для описания вращательного движения

Вращение твердого тела - простой перевернутый маятник

Как выбрать начало координат во вращательных задачах для расчета крутящего момента?

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс

Почему балерина так быстро вращается, когда нет внешней силы?

Как можно рассчитать момент инерции?

Почему кинетическая энергия всех круглых тел, катящихся по наклонной плоскости одинаковой массы, одинакова?

Крутящий момент на оси и колесе

Как земля взаимодействует с коробкой, вращающейся вокруг своего угла?