Как масса влияет на скольжение?

Есть математические способы показать все это, но важно иметь интуицию, прежде чем начинать расчеты. Вот моя интуитивная картина:

Кинетическая энергия вращающегося цилиндра имеет две составляющие:

1. Кинетическая энергия его движения по плоскости.

2. Кинетическая энергия его вращения вокруг собственной оси.

Единственным источником кинетической энергии является потеря потенциальной энергии из-за того, что самолет находится ниже, чем в начале. Таким образом, в данной точке плоскости полная кинетическая энергия постоянна .

Таким образом, 1 , кинетическая энергия движения по плоскости, зависит от 2 , кинетической энергии вращения. Чем больше кинетическая энергия вращения, тем меньше кинетическая энергия движения и, следовательно, тем медленнее скорость цилиндра по плоскости.

• Если бы вся масса цилиндра находилась точно в его центре, его кинетическая энергия вращения была бы равна нулю, а значит, его кинетическая энергия движения вдоль плоскости была бы максимальной, как и его скорость.

• Если бы цилиндр располагал всей своей массой на периферии, его кинетическая энергия вращения была бы намного выше, а значит, его кинетическая энергия движения по плоскости была бы намного ниже, а значит, и его скорость.

Вот почему скорость зависит от распределения массы в цилиндре.

Спасибо за обновление, WJ47.

Склон синей трубы выглядит очень крутым. И линейка/трубка, и белый цилиндр (держатель целлоленты) выглядят довольно гладкими, поэтому я думаю, что будет небольшое трение, что приведет к смешению качения и скольжения. Очень трудно предсказать, сколько каждого из них. Имхо, это довольно "грязный" эксперимент, который трудно увязать с теорией.

Еще одна трудность — сроки. Кажется, вы синхронизируете цилиндр между двумя точками, в которых он имеет неизвестную скорость. Вы можете рассчитать среднюю скорость от старта до финиша, но это не скажет вам об ускорении.

Я рекомендую вам сменить экспериментальную установку и повторить эксперимент. Позвольте белому цилиндру скатиться по деревянному склону, который гораздо менее крутой (и не такой гладкий) - не более$30^{\circ}$. (Убедитесь, что он катится, а не скользит.) Это увеличит время спуска, поэтому результаты должны быть более точными. Я также взвешивал белый цилиндр перед каждым запуском.
Убедитесь, что шпаклевка равномерно распределена по отверстию - таким образом вы сможете рассчитать момент инерции и использовать следующую теорию. Начинайте отсчет времени, как только цилиндр начинает двигаться — тогда можно считать, что начальная скорость равна нулю.

Теория

Если цилиндр катится по склону без скольжения/проскальзывания, то потери энергии на трение нет. Начальное PE + KE = конечное PE + KE. Предполагая, что он начинается из состояния покоя и падает через вертикальную высоту$h$затем

$$\frac12Mv^2+\frac12I\omega^2 = Mgh$$ где $M$масса, $v$- конечная скорость центра масс СМ, $\omega=\frac{v}{R}$- конечная угловая скорость, $R$- внешний радиус цилиндра, а $I=kMR^2$это его момент инерции. $k$- переменная, связанная с распределением массы в цилиндре. Подставляя их в формулу и переставляя, мы получаем $$(1+k)v^2 = 2gh$$

Используя кинематические уравнения для постоянного ускорения, расстояние$L$, время$t$и конечная скорость$v$вниз по плоскости связаны

$$L = average velocity \times time = \frac12(u+v)t = \frac12 vt$$ Это работает, потому что я предполагаю начальную скорость $u=0$. Подставляя в приведенное выше уравнение и переставляя, мы получаем $$t^2 = 2(1+k)\frac{L^2}{gh}$$

Вы должны получить прямую линию, если вы рисуете$t^2$против$k$. Единственная оставшаяся трудность состоит в том, чтобы вычислить значение$k$каждый раз, когда вы добавляете массу к цилиндру.

Предположим, что держатель клейкой ленты имеет массу$m_1$и внешний и внутренний радиусы$R$и$r_1$. Предположим, вы добавляете массу, фиксируя кольцо из пластилина массы$m_2$внутри держателя, оставив центральное отверстие радиусом$r_2$.

Момент инерции (MI) относительно центра держателя равен$I_1 = \frac12 m_1(R^2+r^2)$, а для добавленного пластилина есть$I_2=\frac12 m_2 (r_1^2+r_2^2)$. МИ в целом

$$I = I_1 + I_2 = \frac12(m_1R^2+m_1r_1^2+m_2 r_1^2+m_2 r_2^2) = \frac12(\mu_1+\rho_1^2+\mu_2\rho_2^2)MR^2$$ так что
$$k = \frac12(\mu_1+\rho_1^2+\mu_2\rho_2^2)$$ где $\mu_1=\frac{m_1}{M}$, $\mu_2=\frac{m_2}{M}$, $\rho_1=\frac{r_1}{R}$, $\rho_2=\frac{r_2}{R}$и $M=m_1+m_2$.

Вам нужно будет повторно взвесить массу$M$держателя и пластилина каждый раз, когда вы добавляете больше, также заново измеряйте внутренний радиус$r_2$, и пересчитать$k$используя приведенные выше формулы.

Потому что$\mu_1$и$\rho_1$не изменить, вы могли бы вместо этого вычислить$p=\mu_2 \rho_2^2$и сюжет$t^2$против$p$чтобы получить прямую линию.$p=0$когда держатель для виолончели пуст.