Как выбрать начало координат во вращательных задачах для расчета крутящего момента?

Для расчета крутящего момента$\vec\tau=\vec r\times\vec F$, можно выбрать любое происхождение$O$. В этом случае говорят, что крутящий момент рассчитывается относительно$O$и это зависит от этого выбора. В частности, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то результирующий крутящий момент не зависит от$O$.

Что касается второго вопроса, обратите внимание, что когда частица вращается в фиксированной плоскости, скажем$xy$плоскости, и силы, действующие на него, также находятся в этой плоскости, то момент находится в$z$направление, потому что векторное произведение с силой должно быть ему ортогонально. Точно так же выражения для угловой скорости и углового ускорения также удовлетворяют соотношениям векторного произведения:$\vec v=\vec\omega\times\vec r$и$\vec a=\vec\alpha\times\vec r+\vec\omega\times\vec v$. Как видите, угловая скорость должна быть перпендикулярна скорости, а угловое ускорение должно быть перпендикулярно ускорению.

Позволять$\vec{r}_0$быть началом вашей системы координат. Ясно, что крутящий момент относительно этой точки равен

$$\vec{Q}= (\vec{r}-\vec{r}_0)\times\vec{F} =\vec{r}\times\vec{F}-\vec{r}_0\times\vec{F}$$ Последний член является константой и зависит от того, какое происхождение вы берете. Для простоты можно принять за нуль тогда и только тогда, когда $\vec{r}_0$лежит на оси, ориентированной в направлении $\vec{F}$, это то, что говорит ваш учебник.

Следовательно, самый простой способ продолжить - установить начало координат в любой точке этой оси.

Что касается второго вопроса, то, если у вас есть плоское движение, хорошо известно, что векторное произведение двух векторов, лежащих в одной плоскости, дает другой перпендикуляр к ним.

Ясно, что при плоском движении вектор положения$\vec{r}$, скорость$\vec{v}$лежат на плоскости, как и их производные по времени, поэтому любое векторное произведение между ними ориентировано перпендикулярно плоскости движения.

Итак, где мы должны взять происхождение?

Где удобно.

Во многих случаях наиболее удобным местом является центр масс объекта. Причина, по которой это такой удобный выбор, заключается в том, что он разделяет уравнения поступательного и вращательного движения:

$$\begin{aligned} \boldsymbol F &= m\,\boldsymbol a \\ \boldsymbol{\tau} &= \mathrm I\,\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \omega \times \mathrm I\,\boldsymbol \omega \end{aligned}$$ Выберите другое место, поскольку начало координат и уравнения поступательного и вращательного движения связаны друг с другом: $$\begin{aligned} \boldsymbol F &= m\,\boldsymbol a - m\,\boldsymbol x_{cm}\times \boldsymbol \alpha + m\, \boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol x_{cm}) \\ \boldsymbol{\tau} &= m\,\boldsymbol x_{cm}\times \boldsymbol a + \mathrm I\,\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \omega \times \mathrm I\,\boldsymbol \omega \end{aligned}$$ Несмотря на повышенную сложность, есть ряд случаев, когда предпочтительным выбором является нецентральное начало координат. Особенно это касается робототехники. Ограничения на движения манипулятора делают различные суставы предпочтительными местами для описания движения каждого из звеньев, составляющих манипулятор.

Здесь есть два случая:

• Статика — при рассмотрении системы, в которой$\sum \vec{F} =0$тогда выбор точки суммирования крутящих моментов не имеет значения . (См . Выбор точки разворота в неравновесных сценариях ). Просто выберите тот, который максимально упрощает задачу.

• Динамика. Здесь точка, относительно которой рассчитываются крутящие моменты, должна быть центром масс , чтобы уравнения движения вращения работали правильно. Это связано с тем, что движение центра масс описывается суммой сил и вращением крутящих моментов вокруг центра масс.

  См. Вывод уравнений Ньютона-Эйлера для уравнений динамики не в центре масс .

$$\begin{aligned} \sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{c} \\ \sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{\omega} \times \vec{c} \right) \end{aligned}$$

В нем говорится, что крутящий момент вокруг оси одинаков независимо от того, где вы берете начало координат. Потому что плечо момента всегда будет одним и тем же.

Другой взгляд на это$rsin\theta$. Чем дальше вы отдаляете источник, тем больше$r$и, следовательно, меньше$\theta$. Однако вы принимаете это$risn\theta$будет одинаковым независимо от значений$r$и$\theta$об оси.

Но при другом выборе начала координат крутящий момент становится наклонным, а крутящий момент вокруг оси является составной частью крутящего момента вокруг начала координат. Другая составляющая создает крутящий момент перпендикулярно оси и параллельно центростремительной силе.

А по поводу угловой скорости, угловая скорость относительно оси всегда параллельна оси. Но это не значит, что нет других угловых скоростей, перпендикулярных оси.

И по этой причине они ставят подшипники на ось, чтобы она могла уравновешивать этот крутящий момент и угловую скорость.