Нелокальность пространства - КТП (книга Средненицкого)

Если вы рассматриваете стандартный дифференциальный оператор$B$работать над функциями, определенными в$\mathbb R^n$, нравиться$\partial/\partial x_i$или многочлен от частных производных, и выбрать достаточно гладкую функцию$f$исчезновение в районе$\Omega$, ты тоже это видишь$Bf$исчезает в нем. Это релевантное понятие локальности для операторов.

В правой части уравнения, которое вы записали, появляется оператор, который не удовлетворяет локальности в том смысле, в котором я сказал. Это уравнение фактически является уравнением, которому удовлетворяют решения уравнения Клейна-Гордона с положительной энергией.

Оператор в RHS не может быть определен формальным разложением Тейлора (оно работает только формально), а приходится использовать спектральную теорию. В рассматриваемом случае это эквивалентно переводу этого уравнения в преобразование Фурье.

Нелокальность здесь возникает из-за известного свойства оператора$A:= \sqrt{-\Delta + aI}$и вообще для$(\Delta + aI)^\nu$с$\nu \not \in \mathbb Z$. Это свойство называется антилокальностью (IE Segal, RW Goodman, J. Math. Mech. 14 (1965) 629) и связано со знаменитым свойством Ри и Шлидера в КТП.

Антилокальность означает, что если оба$f$и$Af$исчезают в ограниченной области$\Omega \subset \mathbb R^3$затем$f$везде ноль .

Если$f$имеет поддержку, включенную в ограниченное открытое множество$\Omega$, то, что замечательно и сильно отличается от того, что происходит для стандартных дифференциальных операторов ,$Af$ не исчезает тождественно снаружи$\Omega$в противном случае$f$была бы всюду нулевой функцией.