Определение процентной площади заштрихованного во времени диска Луны

Я искал в Интернете и нашел такие источники, как эта статья о симуляторе лунных фаз, а также эта статья о лунных фазах.

Я хотел бы иметь возможность смоделировать область лунного диска, которая затенена по отношению к углу луны или времени лунного месяца, и я не уверен, как это сделать. По сути, я хотел бы иметь возможность найти функцию f(x), в которую я могу ввести такое значение, как 0 (что означает 0 дней с начала лунного месяца), и я смогу получить вывод, например 0 так как это новолуние. Точно так же f(14ish) должно быть новолунием или цифрой 5 на изображении ниже, поэтому я получу значение, близкое к 1.

Я немного больше сосредоточен на математике, чем на реальных значениях, поэтому я готов сделать предположения, например, что Луна и Земля являются идеальными сферами ради модели.

Я знаю, что здесь задействовано много математических вычислений, и мне придется выполнить некоторую интеграцию, но я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог указать мне источники, чтобы начать работу над этим, поскольку документы, которые я нахожу, либо детские лунные фазы рабочие листы или не относящиеся к этой теме.