Определение уникального электрического и магнитного поля, создаваемого точечным зарядом

Уравнения Максвелла линейны, а это значит, что если у вас есть (частное) решение, вы можете добавить к нему любое решение однородных уравнений Максвелла (т.е. электромагнетизм в вакууме, без источника, он же свет) и получить другое решение. Кроме того, любое решение получается таким образом. Способ выбора одного решения над другим заключается в выборе начальных условий. Это может быть установлено в какое-то конечное время, или в далеком прошлом, или в будущем, или даже в какой-то их комбинации.

Особенно естественным выбором здесь было бы отсутствие приходящей радиации из далекого прошлого. Это может быть реализовано путем решения с использованием функций Грина, которые дают решения для источника, локализованного в точке пространства-времени, и выбора запаздывающей функции Грина, которая всегда равна нулю перед источником.

Если мы знаем положение заряженной частицы в любой момент времени, т. е. если мы знаем значение функции$\mathbf r(t)$для всех$t$, один из способов найти электромагнитные поля основан на знании полей в один момент времени$t_0$. Пусть поле таково, что

$$\mathbf E(\mathbf x, t_0) = \mathbf C_E(\mathbf x),~~\mathbf B(\mathbf x, t_0)= \mathbf C_B(\mathbf x)~~\forall \mathbf x.$$

Со знанием функций$\mathbf C_E(\mathbf x), \mathbf C_B(\mathbf x)$, используя временные уравнения Максвелла

$$\nabla \times \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$$ $$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf j + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}$$ и $$\mathbf j(\mathbf x,t) = q\mathbf v(t)\delta(\mathbf x-\mathbf r(t))$$ мы можем найти $\mathbf E(\mathbf x, t), \mathbf B(\mathbf x, t)$для любого $t$.