Относительность и компоненты 1-формы

У меня вопрос относительно Мизнера, Чарльза У.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон Арчибальд (1973), ISBN Gravitation 978-0-7167-0344-0 . Это книга о теории гравитации Эйнштейна.

На странице 313 упражнение 13.2. «Практика с метрикой» представляет четырехмерное многообразие в сферических координатах +$v$который имеет линейный элемент

$$ds^2 = - (1-2 M/r) dv^2 + 2 dv dr+r^2 (d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2).$$

Вопрос (б):

Задайте скалярное поле$t$к

$$t \equiv v - r - 2M \ln((r/2M)-1)$$ Каковы ковариантные и контравариантные компоненты 1-формы?$dt$(равно тильде)? Какая длина в квадрате$u^2$соответствующего вектора? Покажи то$u$времяподобно в регионе$R > 2M$.

Моя попытка:

Сначала продифференцируй, чтобы получить 1-форму$dt$:

$$dt = dv - dr - dr/2M \cdot \frac{1}{(r/2M)-1} = dv - dr (1+\frac{1}{r-2M})$$

Однако поправка говорит, что$u_r = -1/(1-2M/r)$что не эквивалентно тому, что я написал. Где моя ошибка?

Я понимаю, что квадрат длины$u$происходит от ненулевого термина v, ковариантного и контравариантного:$1\cdot -1/(1-2M/r)$и р,$\phi$и$\theta$термы имеют нулевые компоненты в контравариантных термах.

Теперь, чтобы доказать, что времяподобно в определенной области, мне нужно сделать скалярное произведение dt с пространственными компонентами и найти ноль? Для углов это кажется довольно тривиальным, но для$r$, я не уверен, как это показать$dt \cdot dr = 0$. Может ли кто-нибудь помочь мне, пожалуйста?