Относительные знаки минус из разных диаграмм Фейнмана

У меня проблема с пониманием возникновения относительного знака минус между вкладами, исходящими из разных диаграмм Фейнмана, включающих фермионы. Простой пример — рассеяние Бхабхи. е + е − → е + е − . Этот процесс может происходить путем рассеяния или аннигиляции. Я знаю эвристический аргумент, упомянутый, например, здесь и во многих книгах. Я пытаюсь понять это путем вычислений с использованием расширения S-Matrix.

Отказ от ответственности: я буду использовать довольно небрежные обозначения, чтобы как можно быстрее перейти к моему вопросу.

У нас есть | я ⟩ "=" | е + е − ⟩ "=" с † г † | 0 ⟩ и ⟨ ф | "=" ⟨ 0 | д с

Вкладная часть члена S-матрицы второго порядка предназначена для диаграммы рассеяния (игнорируя многие вещи)

С а ∝ ( Ψ ¯ − Ψ + ) Икс 1 ( Ψ ¯ + Ψ − ) Икс 2

и для диаграммы уничтожения

С а ∝ ( Ψ ¯ − Ψ − ) Икс 1 ( Ψ ¯ + Ψ + ) Икс 2

Таким образом, соответствующие амплитуды (опять же, сосредоточив внимание только на частях, имеющих отношение к знаку)

⟨ ф | С а | я ⟩ ∝ ⟨ 0 | с д Н { с † с д г † } с † г † | 0 ⟩
и
⟨ ф | С б | я ⟩ ∝ ⟨ 0 | с д Н { с † г † д с } с † г † | 0 ⟩

Я прочитал соответствующие страницы во многих книгах, и стандартные способы объяснения знака минус таковы:

I Что теперь нам нужно привести оба термина в равный нормальный порядок (Мандл-Шоу).

или

II , что мы должны убедиться, что с всегда стоит рядом с с † и в равной степени для д , то есть убедитесь, что частица всегда уничтожается после того, как она создана, прежде чем будет создана другая частица. (См., например, (Квантовая теория поля и Стандартная модель - Шварц)

Использование антикоммутационных соотношений между операторами рождения и уничтожения приводит для обоих требований к относительному знаку минус между двумя вкладами. Моя проблема заключается в том, чтобы понять, откуда возникает потребность в I или II ? Другими словами: если я следую инструкциям в учебниках, я получаю правильный результат, такой же, как если бы я использовал эвристическое правило, упомянутое в начале. Во всяком случае, я не понимаю, откуда берутся эти правила.

Зачем нужно приводить операторы в обеих амплитудах к одинаковому нормальному порядку? Или

Почему нам нужно уничтожать частицу, как только она была создана, до того, как будет создана другая частица?

Любая помощь или предложение по чтению будут высоко оценены

Вам нужно привести состояния в один и тот же порядок, потому что два вклада в амплитуду должны быть одинаково стандартизированы, иначе вы бы добавили яблоки с апельсинами. Можно вычислить амплитуду для фиксированных четко определенных (включая знак) начального состояния и конечного состояния. Если ваш другой расчет вычисляет другой член, но конечное и/или начальное состояние отличаются нечетным числом обменов фермионами, то начальное и конечное состояния должны быть изменены на ту же форму, что и предыдущий член, который дает знак минус.
Вы понимаете, почему для антикоммутации с я переменные, 12 с 1 с 2 + 5 с 2 с 1 "=" 12 с 1 с 2 − 5 с 1 с 2 "=" 7 с 1 с 2 ? Если да, то я не могу понять, как вы могли неправильно понять то, о чем спрашиваете.
@LubošMotl это должен быть ответ
@LubošMotl Я понимаю, почему 12 с 1 с 2 + 5 с 2 с 1 "=" 12 с 1 с 2 − 5 с 1 с 2 "=" 7 с 1 с 2 , так или иначе, в приведенном выше случае мы добавляем две амплитуды, которые являются c-числами: ⟨ ф | С а | я ⟩ и ⟨ ф | С б | я ⟩ и я не понимаю, почему мы не можем, например, добавить < 0 | с г с † г † с г с † г † | 0 > к < 0 | с г с † г † г с с † г † | 0 >
Спасибо, @DavidZ - я не совсем удовлетворился своим замечанием и хотел хотя бы еще один намек, в чем камень преткновения... Может быть, теперь я его вижу.

Ответы (1)

Во-первых, второе уравнение, начинающееся с С а ∝ … наверное надо сказать С б ∝ … .

Теперь первые два уравнения для операторов С а и С б которые являются соответствующими частями С "=" С а + С б имеют положительный знак плюс - дополнительные факторы, которые опущены, не отличаются ни одним дополнительным знаком, потому что есть четко определенный фактор (и знак) перед Ψ ¯ Ψ множитель члена взаимодействия в лагранжиане. Вы пропустили коэффициент К а и К б в двух уравнениях соответственно (какие-то фотонные пропагаторы и прочее).

Без (правильного) относительного переворота знака полная амплитуда была бы пропорциональна К а + К б .

Чтобы продолжить (и исправить знак), достаточно заметить, что в последних двух отображаемых уравнениях

Н { с † с г г † } "=" с † г † с г Н { с † г † г с } "=" с † г † г с
где я позаботился о том, чтобы выполнить четное число транспозиций фермионных полей (перестановка г † через с и г в первой оценке или ничего во второй оценке), так что манипуляция не зависит от вопроса, ( − 1 ) включает переворот знака для транспозиций или нет. Но последнее выражение из С б это потому что г с "=" − с г , равный минус первому ( с г и г с в конце единственное различие между ними), поэтому после приведения всего к кратным с † г † с г который все еще зажат между (фиксированными) начальным и конечным состояниями, создает амплитуду, пропорциональную К а − К б , с относительным знаком минус.

Чтобы ответить «почему I или II», я бы выбрал «почему I». Причина, по которой нам нужно привести оба члена к одной и той же нормально упорядоченной форме, заключается в том, что мы хотим разложить коэффициенты на множители. Но для А б "=" − А а со знаком минус из-за простого подсчета перестановок операторов уничтожения внутри С (или операторы создания внутри С ), закон распределения возможен, только если А а можно вынести за скобки, т.е. факторизовать, т.е. если мы преобразуем А б к − А а первый:

К а ⋅ А а + К б ⋅ А б "=" К а ⋅ А а − К б ⋅ А а "=" ( К а − К б ) ⋅ А а

Спасибо за Ваш ответ! Подумав об этом некоторое время, я думаю, что теперь могу сформулировать то, что меня все еще беспокоит: А а =< ф | с † г † с г | я > и А б =< ф | с † г † г с | я > ?! В моем понимании оба приводят к норме соответствующего состояния. Я не понимаю, почему они разные. Другими словами: в чем причина ⟨ 0 | с г с † г † с г с † г † | 0 ⟩ ≠ ⟨ 0 | с г с † г † г с с † г † | 0 ⟩ ?
Я не понимаю, как вы можете неправильно понимать эти вещи. Они отличаются тем, что один из них имеет с г где-то внутри, а у другого есть г с . Потому что с г "=" − г с , эти два матричных элемента, очевидно, равны минус друг другу, не так ли? Вы можете не понять, почему они минусуют себя, только если вы совершенно небрежно относитесь ко всем знакам и всему порядку, но на самом деле это плохая отправная точка, чтобы быть уверенным в подобных проблемах со знаком минус.
Вы понимаете, что ( с г ) † "=" г † с † но ( с г ) † ≠ с † г † , например? Нетрудно заметить, что один из двух конечных элементов матрицы равен + 1 а другой − 1 , и минута расчета с использованием ( А Б ) † "=" Б † А † и антикоммутации и т. д. достаточно, чтобы увидеть, что есть что.
О... Прости! Теперь, взглянув еще раз на то, что я написал, это совершенно очевидно, и я тоже не могу понять, как я это неправильно понял. Конечно ⟨ 0 | с г с † г † с г с † г † | 0 ⟩ ≠ ⟨ 0 | с г с † г † г с с † г † | 0 ⟩ очевидно! Спасибо за ваше терпение и вашу помощь!
Относительные знаки минус из разных диаграмм Фейнмана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v