Вывод принципа действия Швингера из уравнения Гейзенберга и CCR. Почему он работает с антикоммутирующими вариациями?

В книге «Квантовая теория поля I» Манукяна, в разделе 4.3, насколько я понял, он вывел квантовый принцип действия Швингера только с помощью унитарной временной эволюции полевых операторов. По крайней мере, я предполагаю, что это так, потому что для доказательства он посмотрел на операторы полей$\hat{\Phi}(x)$(которые подчиняются некоторой унитарной временной эволюции, порожденной$\hat{H}$и определил поле$\Pi$который должен генерировать вариации$\hat{\Phi}(x)$и какое время эволюции предполагается одинаковым. Поскольку вариации представляют собой просто c-числа, пропорциональные единице, он затем выводит вариационный принцип Швингера.

Короче: он утверждает, что любая бесконечно малая вариация полей$\Phi(\vec{x}) \rightarrow \Phi(\vec{x}) + \delta \Phi(\vec{x})$(где$\delta \Phi(\vec{x})$является c-числом) можно записать с помощью генератора

$$G(t) = \int d^3\vec{x} \delta \Phi(x) \Pi(\vec{x})$$ С $\Pi$канонический импульс поля. Следует явно отметить, что в доказательстве используются только вариации c-чисел (которые я перевожу как « $\delta \Phi$обычное комплексное число). Затем автор показывает, что вы можете написать $$\frac{d}{dt} G(t) = \int d^3\vec{x} \delta ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}))$$ Далее следует вариационный принцип: $$G(t_2) - G(t_1) = \delta \int d^3\vec{x} dt ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}))$$ Чтобы быть более конкретным (Манукян не записывает шаги таким образом, я просто предполагаю, что они такие, где «генератор полной вариации» является « $\delta \Phi \hat{\Pi} - \delta \Pi \hat{\Phi}$. Я обозначил операторы шляпой, чтобы отделить их от числовых вариантов: $$\int d^3\vec{x} \delta ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi})) = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi - \frac{i}{\hbar}[\delta \Phi \hat{\Pi} - \delta \Pi \hat{\Phi}, \mathscr{H}] = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}} - \delta \Pi \hat{\dot{\Phi}} = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}} = \frac{d}{dt} \int d^3\vec{x} \delta \Phi \hat{\Pi}$$ Где $\delta$является одновременным изменением полей И канонических импульсов. Это доказательство использует то, что $\delta \Phi$это просто c-число, так как 2-е равенство использует это $\delta \Phi$и $\delta \Pi$можно просто вытащить из коммутатора. Однако позже автор говорит об использовании переменных Грассмана в качестве вариаций поля, что приводит к антикоммутаторам вместо коммутаторов для поля. Мой вопрос здесь будет таким: почему мы также можем использовать вариации переменных Грассмана, не нарушая вывод здесь ?

Чтобы сделать это более явным: почему бы

$$\mathscr{H}(\hat{\Phi}+ \delta \Phi, \hat{\Pi} + \delta \Pi) - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}) = \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}}$$ даже если вариация не коммутирующая, а антикоммутирующая?