Действие Эйнштейна-Гильберта определяется выражением
включая пограничный член Гиббонса-Хокинга-Йорка . Известный вывод энтропии метрики Шварцшильда требует оценки граничного члена. Однако необходимо ввести радиальный регулятор , и вычтите встречный член, который представляет собой действие Гиббонса-Хокинга пустого пространства с той же границей. Окончательный результат конечен, поскольку .
Я пытаюсь рассчитать полное действие для решения, для которого , поэтому мне нужно также вычислить чистую часть Эйнштейна-Гильберта. Однако я должен ввести регулятор, а конечное действие не является конечным, поскольку я довожу его до бесконечности. Мой вопрос: существует ли аналогичная процедура для «приручения» бесконечности чистой части Эйнштейна-Гильберта, возможно, аналогичная обработке члена Гиббонса-Хокинга?
На самом деле я должен ввести два регулятора. Для моего решения скаляр Риччи не зависит от конкретной координаты, , поэтому я получаю коэффициент после интегрирования оценивается в , поэтому я ввел регуляторы, такие, что . как я беру , конечно расходится.
На самом деле есть гораздо лучшепроцедуры, чем вычитание фона, используемое Гиббонсом и Хокингом. Чтобы их процедура работала, нужно уметь встраивать соответствующую регулирующую поверхность в соответствующее «фоновое» пространство-время. В некоторых случаях вы можете это сделать, но в целом это невозможно для размерности пространства-времени, превышающей 3. Ситуация усложняется тем, что «правильный» фон может быть даже не ясен. Однако всегда можно построить внутреннюю процедуру для данного класса граничных условий, которая устраняет эти расхождения. Это включает в себя добавление к действию подходящих поверхностных членов, которые не влияют на уравнения движения, но делают действие конечным. Необходимые поверхностные члены обычно могут быть записаны как интегралы локальных функций «граничных данных» на поверхности, которые вы используете для регулирования вычислений.
(Обратите внимание, что реальная проблема заключается не в конечности действия, а в том, действительно ли вариация действия обращается в нуль «на оболочке» для произвольных вариаций поля, сохраняющих граничные условия. Расхождения, с которыми вы столкнулись, на самом деле являются симптомом этого более глубокого Это было впервые изучено для гамильтоновой формулировки ОТО Редже и Тейтельбоймом в их статье «Роль поверхностных интегралов в гамильтоновой формулировке общей теории относительности», http://dx.doi.org/10.1016/0003-4916(74 ). )90404-7 . После решения этой проблемы результирующие действия всегда будут давать разумные результаты.)
Процедура, которую я описываю, впервые была понята для асимптотического пространства-времени де Ситтера; см. Баласубраманиан и Краус ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9902121 ) или Эмпаран, Джонсон и Майерс ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9903238 ). В асимптотически плоском пространстве-времени работа Редже и Тейтельбойма была обобщена на лагранжеву формулировку ОТО Манном и Марольфом в http://arxiv.org/abs/hep-th/0511096 (см. также http://arxiv.org/abs ). /arXiv:0804.2079 ). С тех пор эта техника была распространена на множество теорий с различными асимптотиками. Есть много недавних примеров — на самом деле целая литература — включая такие вещи, как нерелятивистское пространство-время Лифшица ( http://arxiv.org/abs/arXiv:1107.4451 ).и http://arxiv.org/abs/1107.5792 ), и широкие классы теорий, которые можно свести к двумерным моделям ( http://arxiv.org/abs/hep-th/0703230 и http://arxiv .org/abs/1406.7007 ).
пользователь 2062542
ГЛС