Явное изменение граничного члена Гиббонса-Хокинга-Йорка

Я никогда не видел статьи, в которой вычисления выполняются явно ковариантным образом. Однако я разместил на своем веб-сайте (http://jacobi.luc.edu/notes.html) набор справочных заметок, в которых содержатся варианты, необходимые для выполнения расчетов. Позвольте мне подвести итог расчета здесь.

Действие гравитации на компактную область$M$с границей$\partial M$является

$$I_{EH} + I_{GHY} = \frac{1}{2 \kappa^2} \int_{M}d^{d+1}x \sqrt{-g} R + \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h} K ~.$$ Метрика на $M$является $g_{\mu\nu}$, а также $R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$это скаляр Риччи. Индуцированная метрика на границе $\partial M$является $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - n_{\mu} n_{\nu}$, куда $n^{\mu}$является (пространственноподобным) единичным вектором, нормальным к $\partial M \subset M$. Теперь рассмотрим небольшую вариацию в метрике: $g_{\mu\nu} \to g_{\mu\nu} + \delta g_{\mu\nu}$. Величины, входящие в часть действия Эйнштейна-Гильберта, изменяются следующим образом: $$\delta \sqrt{-g} = \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$$ $$\delta R = -R^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} + \nabla^{\mu}\left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda} \right)$$ Таким образом, изменение в $I_{EH}$является $$\begin{aligned}\delta I_{EH} = & \frac{1}{2\kappa^{2}}\int_{M} d^{d+1}x \sqrt{-g} \left(\frac{1}{2} g^{\mu\nu} R - R^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\\ & + \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h} \frac{1}{2} n^{\mu} \left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda}\right)~,\end{aligned}$$ с граничным членом, полученным из объемного интеграла полной производной в $\delta R$. Вариации величин в термине GHY немного сложнее вычислить, но все они в основном следуют из стандартных определений и этого результата для вариации вектора нормали: $$\delta n_{\mu} = \frac{1}{2} n_{\mu} n^{\nu} n^{\lambda} \delta g_{\nu\lambda} = \frac{1}{2} \delta g_{\mu\nu} n^{\nu} + c_{\mu}~.$$ Во втором равенстве я ввел вектор $c_{\mu}$который ортогонален $n^{\mu}$; это дано $$c_{\mu} = - \frac{1}{2} h_{\mu}{}^{\lambda} \delta g_{\nu\lambda} n^{\nu} ~.$$ Причина, по которой я ввел этот вектор, заключается в том, что изменение следа внешней кривизны может быть записано как $$\delta K= - \frac{1}{2} K^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} - \frac{1}{2} n^{\mu}\left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda} \right) + D_{\mu} c^{\mu}$$ куда $D_{\mu}$является ковариантной производной вдоль $\partial M$что совместимо с индуцированной метрикой $h_{\mu\nu}$. Таким образом, изменение в GHY части действия равно $$\delta I_{GHY} = \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h}\left(\frac{1}{2}h^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} K + \delta K \right)~.$$ Сочетая это с $\delta I_{EH}$мы видим, что несколько терминов сокращаются, оставляя $$\begin{aligned} \delta I = & \frac{1}{2\kappa^2}\int_{M} d^{d+1}x \sqrt{-g}\left(\frac{1}{2} g^{\mu\nu} R - R^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\\ & + \frac{1}{\kappa^2}\int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h}\left(\frac{1}{2}(h^{\mu\nu} K - K^{\mu\nu})\delta g_{\mu\nu} + D_{\mu} c^{\mu} \right) ~.\end{aligned}$$ Мы отказываемся от термина $D_{\mu} c^{\mu}$, которая является полной граничной производной.

Я учусь на бакалавра по чему-то подобному, и мы даже решили включить в вариант двойные граничные термины.

В дополнение к этой статье, Вариационный принцип и одноточечные функции в трехмерном плоском пространстве, гравитация Эйнштейна Стефана Детурне и др., мы получаем еще один термин:

$$-\frac{(1-\alpha)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\frac{1}{2}n^c \nabla_c(n^an^b)\delta g_{ab}$$ полная вариация члена GHY (со свободным параметром $\alpha$), и тогда обычный термин EH выглядит так:

$$\begin{align} \delta \Gamma_{(\alpha)}&=\frac{1}{16\pi G}\int_{\mathcal{M}}d^4x\sqrt{-g}G^{ab}\delta g_{ab} \\ &\quad + \frac{1}{16\pi G}\int_{\mathcal{{\partial}M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\left(K^{ab}-\alpha K g^{ab}+(2\alpha-1)Kn^an^b\right)\delta g_{ab} \\&\quad+\frac{(1-\alpha)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\left(\gamma^{ab}n^c\nabla_c-\frac{1}{2}n^c\nabla_c(n^an^b)\right)\delta g_{ab} \\&\quad+\frac{(2\alpha-1)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial^2M}}d^2x\sqrt{-\gamma'}{n'}^an^b\delta g_{ab} \end{align}$$