"Падение вверх" - как далеко нужно находиться от Земли, чтобы начать падать на Луну?

Question

"Падение вверх" - как далеко нужно находиться от Земли, чтобы начать падать на Луну?

рафб3

Говоря о гравитации с моей 9-летней, она спросила, когда мы начнем «падать вверх» на Луну. На каком расстоянии гравитационное притяжение Луны выше, чем у Земли и, таким образом, заставляет вас ускоряться к ней, и как получить этот ответ?

Джолд

Чтобы добавить к тому, что говорят другие, ~ 300 000 км составляют около 85%, или 17/20, расстояния от Земли до Луны. Просто чтобы представить это большое число в перспективе :).

Мычащая утка

О боже, ответ Роба Джеффриса поднимает интересный вопрос. Расстояние, на котором гравитационное притяжение Луны выше, чем у Земли, и расстояние, на котором вы ускоряетесь к Луне, — это два совершенно разных расстояния . Есть точка, где притяжение Земли имеет более сильную гравитацию, но если вы находитесь «на орбите», то за счет вращения вы все равно ускоряетесь к Луне. Какой именно номер вы ищете? HDE226868, maxpesa, user46147 и user64976 нашли равную гравитацию, Майкл и РобДжеффрис нашли ускорение.

ПрофРоб

@MooingDuck Точно; вопрос касается обоих, и на самом деле это то, что я дал.

рафб3

Я не думаю, что я достаточно обдумал вопрос или достаточно знал о предмете для надлежащих терминов пользователя. Я понял, что это будет не так просто, как я мог себе представить, но я не учёл всего, что могло повлиять на «падение на Луну». Но я считаю, что с точки зрения 9 лет вопрос будет учитывать только силу гравитации и полностью игнорировать любые другие эффекты, связанные с орбитой и еще чем-то.

Хорхе Лейтао

Хороший вопрос от 9-летнего ребенка.

Рик

Вау, я впечатлен твоим 9-летним... Надеюсь, он/она продолжит задавать эти вопросы.

Ответы (8)

"Падение вверх" - как далеко нужно находиться от Земли, чтобы начать падать на Луну?

Чтобы добавить к тому, что говорят другие, ~ 300 000 км составляют около 85%, или 17/20, расстояния от Земли до Луны. Просто чтобы представить это большое число в перспективе :).
О боже, ответ Роба Джеффриса поднимает интересный вопрос. Расстояние, на котором гравитационное притяжение Луны выше, чем у Земли, и расстояние, на котором вы ускоряетесь к Луне, — это два совершенно разных расстояния . Есть точка, где притяжение Земли имеет более сильную гравитацию, но если вы находитесь «на орбите», то за счет вращения вы все равно ускоряетесь к Луне. Какой именно номер вы ищете? HDE226868, maxpesa, user46147 и user64976 нашли равную гравитацию, Майкл и РобДжеффрис нашли ускорение.
@MooingDuck Точно; вопрос касается обоих, и на самом деле это то, что я дал.
Я не думаю, что я достаточно обдумал вопрос или достаточно знал о предмете для надлежащих терминов пользователя. Я понял, что это будет не так просто, как я мог себе представить, но я не учёл всего, что могло повлиять на «падение на Луну». Но я считаю, что с точки зрения 9 лет вопрос будет учитывать только силу гравитации и полностью игнорировать любые другие эффекты, связанные с орбитой и еще чем-то.
Хороший вопрос от 9-летнего ребенка.
Вау, я впечатлен твоим 9-летним... Надеюсь, он/она продолжит задавать эти вопросы.

ПрофРоб · Answer 1

Основной график ниже показывает потенциальную энергию массы в системе Земля-Луна при нереалистичном предположении, что система не вращается .

т. е. это отражает (в настоящее время) все, кроме одного из 4 данных ответов, при условии, что эта точка определяется там, где гравитационная сила, действующая на массу Земли и Луны, равна и противоположна (т. е. в точке, где общий потенциал энергия [красная кривая] максимальна, потому что сила, конечно же, является градиентом потенциала, и я показываю это черной линией).

Это неправильно , потому что не учитывается центробежный потенциал, вызванный орбитальным движением. В то время как включение этого потенциала изменяет только третью значащую цифру количества энергии, необходимой для доставки чего-либо на Луну, оно перемещает точку, в которой объект, вращающийся в одном направлении, начинает падать к Луне, значительно ближе к Земле.

В графике я использовал среднее расстояние от Земли до Луны, равное 384 000 км. Точка P, где сила (без учета центробежной силы) равна нулю, составляет около 344 000 км .

Включение центробежного потенциала (см. график ниже: кредит НАСА) в системе координат, вращающейся в одном направлении, и вычисление «точки L1», где потенциал фактически максимален, описывается здесь и включает решение функции пятого числа. Однако, поскольку масса Луны намного меньше массы Земли, мы можем использовать приближение «сферы Хилла», согласно которому точка L1 отделена от Луны $r= R (M_2/3M_1)^{1/3}$ , куда $R$ это разделение Земли и Луны и $M_2/M_1$ - отношение масс Луны/Земли. Ввод цифр дает $R-r=$ 323 000 км , так что это не маленькая поправка.

Однако обратите внимание, что тело, прошедшее через точку L1, которая ранее вращалась вокруг Земли, не может просто упасть на Луну. У него слишком большой угловой момент. Точка L1 отмечает точку, в которой он перестает вращаться вокруг Земли и начинает вращаться вокруг Луны. В этом смысле он «падает» на Луну.

Редактировать: Последние сложности заключаются в том, что (i) расстояние Земля-Луна непостоянно, как и точка L1. На самом деле лучше процитировать решение, что баланс гравитационных сил достигается на 90% расстояния Земля-Луна, в то время как расстояние, на котором объект падает к Луне, составляет около 84% расстояния Земля-Луна. (ii) Система Земля-Луна не изолирована, и гравитация Солнца играет роль.

Я также отмечаю, что это было частью концепции миссии SMART-1 на Луну, где орбита была спроектирована так, чтобы спутник выходил из Земли по спирали в точку L1, а затем был захвачен Луной. Он «прошел в свободном дрейфе позицию в 310 000 км от Земли и 90 000 км от Луны».

Потенциал Земля-Луна без учета центробежного потенциала

Включая эффекты центробежного потенциала.

Представление потенциала Земли-Луны, включая центробежный потенциал (Источник: НАСА)

Я не уверен, в чем актуальность последней картинки. Это похоже на немасштабированную точечную диаграмму Лагранжа Земля-Солнце, но этот вопрос касается системы Земля-Луна.
@ user2357112 Рад, что кто-то обратил внимание - я просто вставил не ту диаграмму - теперь исправлено. Спасибо.

HDE 226868 · Answer 2

Силы, действующие на пробную частицу со стороны Земли и Луны, приравняем:

Ф_{Е} знак равно Ф_{М}

$F_E=F_M$

грамм \frac{М_{Е} М_{тестовая частица}}{р_{Е}^{2}} знак равно грамм \frac{М_{М} М_{тестовая частица}}{р_{М}^{2}}

$G\frac{M_EM_{\text{ test particle}}}{R_E^2}=G\frac{M_MM_{\text{ test particle}}}{R_M^2}$ The

G

$G$ песок

M_{test particle}

$M_{\text{ test particle}}$ отменить, оставив вас с

\frac{М_{Е}}{р_{Е}^{2}} знак равно \frac{М_{М}}{р_{М}^{2}}

$\frac{M_E}{R_E^2}=\frac{M_M}{R_M^2}$ но ты знаешь это

R_{M}

$R_M$ , расстояние между пробной частицей и Луной, равно расстоянию между Землей и Луной минус расстояние между пробной частицей и Землей (

R_{E}

$R_E$ ). Упрощаем и получаем

\frac{М_{Е}}{р_{Е}^{2}} знак равно \frac{М_{М}}{(Д_{Е \to М} - р_{Е})^{2}}

$\frac{M_E}{R_E^2}=\frac{M_M}{(D_{E \to M}-R_E)^2}$ а потом

Д_{Е \to М}^{2} - 2 р_{Е} \times Д_{Е \to М} + р_{Е}^{2} знак равно р_{Е}^{2} \frac{М_{М}}{М_{Е}}

$D_{E \to M}^2-2R_E \times D_{E \to M}+R_E^2=R_E^2\frac{M_M}{M_E}$ Это упрощает до

(1 - \frac{М_{М}}{М_{Е}}) р_{Е}^{2} - 2 р_{Е} \times Д_{Е \to М} + Д_{Е \to М}^{2} знак равно 0

$\left(1-\frac{M_M}{M_E} \right)R_E^2-2R_E \times D_{E \to M} + D_{E \to M}^2=0$ Вы можете решить это уравнение, чтобы получить:

р_{Е} знак равно \frac{Д_{Е \to М}}{1 + \sqrt{\frac{М_{М}}{М_{Е}}}}

$R_E=\frac{D_{E \to M}}{1+\sqrt{\frac{M_M}{M_E}}}$

$F_E$ сила Земли, действующая на пробную частицу.

$F_M$ — сила Луны, действующая на пробную частицу.

$M_E$ это масса Земли.

$M_M$ это масса Луны.

$G$ - универсальная гравитационная постоянная.

$M_{\text {test particle}}$ – масса пробной частицы.

$R_E$ - расстояние от пробной частицы до центра Земли.

$R_M$ — расстояние от пробной частицы до центра Луны.

$D_{E \to M}$ это расстояние между Землей и Луной.

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

Дэйв · Answer 3

Земля примерно в 100 раз массивнее Луны, и поскольку $F \propto M / r^2$ , расстояние от Земли до космонавта должно быть около $\sqrt{100}$ = в 10 раз дальше, чем от Луны до космонавта. Таким образом, около 90% пути до Луны космонавт падает «вверх».

[Предыдущие ответы содержат гораздо больше деталей (и более точны с технической точки зрения), но стоит сделать небольшое приближение, так как немногие девятилетние дети поймут точки Лагранжа.]

Хороший вклад и, возможно, самая дружелюбная к 9 годам версия здесь (не то, чтобы моя когда-либо предназначалась для этого).
Я буду вторым @RobJeffries. Это, вероятно, самый простой здесь и приводит к действительно интуитивному результату.

Майкл · Answer 4

Майкл

В точке Лагранжа L1 . Конкретно для Земли-Луны L1 эти расчеты показывают 326054 км.

Карл Виттофт

Это скорее определение L1, чем ответ на вопрос.

Майкл

@CarlWitthoft: 326054 km отвечает «На каком расстоянии гравитационное притяжение Луны выше, чем у Земли», а вторая ссылка отвечает «как добраться до этого ответа».

Адам Д. Руппе

Это совсем не то, что означает L1, что делает этот ответ неправильным! Точки Лагранжа не являются точкой отмены гравитации, это место, где объединенная сила дает равный период обращения. Должна быть ненулевая сила, направленная к Земле в любой точке Лагранжа, чтобы действовать как центростремительная сила для орбиты!

Отметка

L1 — это точка, в которой результирующая сила гравитации уравновешивает центростремительную силу объекта, вращающегося вокруг большего тела с угловой скоростью меньшего тела. Для тела, не вращающегося по орбите, точка равновесия находится несколько дальше.

ПрофРоб

@ Отметьте, что лучше подумать об этом, L1 - это точка, в которой у вас будет лунно-синхронный спутник. т.е. Здесь тело будет вращаться вокруг Земли с тем же периодом, что и Луна. Следовательно, правильным потенциалом для рассмотрения является потенциал Роша, и радиальное смещение к Луне вызовет «падение» объекта.

Майкл

@AdamD.Ruppe: я понимаю вопрос не как «точка компенсации гравитации», а как «точка, за которой тело упадет на Луну». L1 нестабилен; тело, которое пройдет его, упадет на Луну.

пользователь46147 · Answer 5

Чтобы рассчитать это самостоятельно, вам нужно знать, что сила тяжести, действующая на объект (например, на вас), равна $F=GMm/r^2$ , куда $G$ гравитация постоянна, $M$ - масса большого объекта ( $M_m$ для луны, $M_e$ для земли), $m$ это масса маленького объекта. $r$ это расстояние от центра масс.

Теперь вам нужно знать массу земли и луны и расстояние между ними. Точка, в которой земля и луна притягивают вас с одинаковой силой (после чего вы упадете на луну), определяется такими уравнениями: $GM_m m/r^2_m=GM_e/r^2_e$ а также $r_m+r_e=\text{Distance Between Moon And Earth}$

Обратите внимание, что после этой точки Луна притягивает вас лучше, чем Земля, поэтому вы начнете падать.

В первом уравнении вы можете заменить один из $r$ с $\text{Distance Between Moon And Earth}-\text{another R}$ Кроме того гравитационная постоянная $G$ может быть уменьшен.

Все необходимые данные вы можете найти в Википедии

Обратите внимание, что это упрощенное решение, которое предполагает, что вы летите прямо на Луну. Луна и Земля находятся в постоянном движении, поэтому вам нужно сделать более сложные расчеты в случае космических кораблей.

макспеса · Answer 6

Просто используйте уравнение, исключающее две силы, которые притягивают объекты (всеобщее тяготение), чтобы получить точку равновесия, например (уже упрощенно): M/d^2 = m/(384000000 - d)^2

Где M — масса Земли, m — масса Луны, а d — расстояние от Земли. Когда d становится больше этого значения, вы начинаете падать на Луну.

Я получаю значение примерно 3,4 10 ^ 8 метров (но я не использую свой калькулятор, поэтому посчитайте еще раз, извините!)

пользователь64976 · Answer 7

Расстояние, которое я получил, составило 346 084 км. Вот математика, которую я использовал:

( $E_m$ ) Масса Земли = $5.9736\times10^{24}$ кг
( $M_m$ ) Лунная масса = $7.3477\times10^{22}$ кг
( $D_{em}$ ) среднее расстояние Земля-Луна = 384 467 км
( $G$ ) гравитационная постоянная = $6.67384\times10^{-11}$
( $W$ ) мой вес = 85кг
( $D_{fe}$ ) расстояние от земли = ?

Сила притяжения между двумя телами рассчитывается по формуле

Ф знак равно \frac{грамм М_{1} М_{2}}{д^{2}}

$F=\frac{G M_1 M_2}{d^2}$ Итак, сила притяжения земли

Ф_{е} знак равно \frac{грамм Е м Вт}{Д_{ф е}^{2}}

$F_e = \frac{G Em W}{D_{fe}^2}$ а сила притяжения от луны

Ф_{м} знак равно \frac{грамм М_{м} Вт}{(Д_{е м} - Д_{ф е})^{2}}

$F_m = \frac{ G M_m W}{(D_{em}-D_{fe})^2}$

Я сделал скрипт, который начинался с $D_{fe} = 1$ км, рассчитано $F_e$ а также $F_m$ , и если $F_e$ был выше, чем $F_m$ , $D_{fe}$ увеличится на 1 км, и силы будут рассчитаны снова. В $D_{fe}$ = 346 084 км, $F_e$ составляет 282 922,71 с.ш. и $F_m$ 282 923,03 северной широты, и это точка, в которой сила притяжения с Луны будет сильнее, чем с Земли.

Теперь 4 ответа говорят одно и то же.
@RobJeffries: и эта штука отвечает на неправильный вопрос: «в какой точке в инерциальной системе отсчета гравитация Луны равна гравитации Земли», а не на исходный вопрос: «какой точки нужно достичь, чтобы упасть на Луну» . 4 похожих ответа не учитывают, что система Земля-Луна не является статичной в инерциальной системе отсчета, поэтому соответствующая система отсчета, в которой система является статической, вращается вокруг центра тяжести Земли и Луны. Правильный ответ, который объясняет это в точке Лагранжа L1, как в вашем, так и в моем ответах.
@Michael, честно говоря, ОП фактически объединяет оба вопроса. Где гравитационные силы равны и противоположны и где точка падения объекта на Луну?

БДФизика · Answer 8

Вот как я решил эту проблему:

Сила на объект (масса m) со стороны Земли (масса Me) должна быть равна силе со стороны Луны (масса Mm).
Расстояние объекта от Земли равно R, поэтому, если Rem — это расстояние между Землей и Луной, то расстояние от Луны равно Rem-R.

Закон Ньютона: G.Me.m/R^2 = G.Mm.m/(Rem-R)^2 Решить для R: R=Rem(Me-(sqrt(MeMm))/Me-Mm

С помощью этой математики я получаю результат 346 019 км (варьируется в зависимости от значений Me, Mm и Rem).

У нас включен Mathjax для математических формул.

"Падение вверх" - как далеко нужно находиться от Земли, чтобы начать падать на Луну?

рафб3

Джолд

Мычащая утка

ПрофРоб

рафб3

Хорхе Лейтао

Рик

Ответы (8)

ПрофРоб

пользователь 2357112

ПрофРоб

HDE 226868

Дэвид З.

Дэйв

ПрофРоб

HDE 226868

Майкл

Карл Виттофт

Майкл

Адам Д. Руппе

Отметка

ПрофРоб

Майкл

пользователь46147

макспеса

пользователь64976

ПрофРоб

Майкл

ПрофРоб

БДФизика

Кайл Канос