Парадокс случайных натуральных чисел

У меня есть вопрос об игре, взятой из книги Яцека Якубовски и Рафала Штенцеля под названием Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego .

У Адама и Болека есть машина, которая генерирует пару случайных натуральных чисел, стоящих рядом друг с другом (например, 1 и 2 или 55 и 54 ) и каждый мальчик получает разное число из пары. Они знают номер своего противника, но не знают свои собственные номера.

Вот правила:

  • Победителем становится тот, у кого наибольшее число.
  • Проигравший должен отдать победителю столько монет, сколько у проигравшего (поэтому, если у проигравшего 40 , он должен отдать 40 монет победителю).
  • Если игроку не нравится его число, он может решить получить новую пару случайных чисел.

Оба игрока никогда не захотят генерировать новую пару, потому что они думают так : 50 % шанс, что я победитель. И если номер моего оппонента к тогда я выиграю к монеты или потерять к − 1 монеты. Таким образом, мой общий балл будет к − ( к − 1 ) 2 "=" 0,5 монеты.

Эта стратегия, конечно, основана на неверных предположениях — набор чисел, которые может сгенерировать машина, не может быть бесконечным. Кроме того, не может быть, чтобы оба игрока были победителями в игре.

Мои вопросы:

  • Какой была бы их стратегия, если бы они знали, что множество конечно?

  • Действительно ли их стратегия неверна, даже если множество бесконечно? Если их стратегия окажется выигрышной, как может случиться, что они оба окажутся в выигрыше?
    Видимо, это не так, потому что:

    «Можно определить равномерное распределение на некоторых бесконечных множествах (равномерное на [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] абсолютно законно). Но нельзя определить равномерное распределение на бесконечном, но счетном множестве, таком как натуральные числа."
    ~ Клемент С.

    Вот дополнительная ссылка с хорошим объяснением .

Когда игрок может решить получить новые номера? Возможно ли, что игрок A говорит: «Я доволен этими числами», затем игрок B говорит: «Я также доволен числами», а затем A говорит: «О, но тогда я хочу новые числа» до того, как будут раскрыты какие-либо числа?
@Эльза. Что ж, игрок может захотеть изменить номера, когда получит свой номер. В книге не указано, могут ли они принять решение на основе решения противника.
Вы можете прочитать о проблеме двух конвертов. Я не понимаю, почему они хотят или не хотят получать новые числа - тот же расчет после переключения применяется, поэтому переключение (в представленных рассуждениях) не является событием. Вот почему возникает обычная проблема с одним игроком, способным переключать конверты.

Ответы (1)

В исходном вопросе вас спасает отсутствие равномерного распределения по натуральным. Вероятность всех чисел должна быть равна 1 , поэтому вероятность должна уменьшаться с н в конце концов.

Если вы ограничиваете число диапазоном [ 1 , Н ] , игрок, который видит Н наверняка захочет поменять номера, так как знает, что проигрывает. Если любой из игроков может форсировать изменение, игрок, увидевший Н − 1 должен запросить замену, потому что либо его оппонент видит Н а также запросит изменение или его оппонент увидит Н − 2 и выигрывает. Затем игрок, который видит Н − 2 …

Значит, игра не закончится, если набор конечен и оба игрока могут запросить изменение? Это имеет большой смысл. Даже если они не знают, какова верхняя граница набора, они все равно могут запросить изменение, пока у оппонента не будет числа. 0 . Но тогда игрок с 0 просил бы поменять... Так или иначе, эта игра совсем ломаная.
Вы должны решить, разрешено ли только одно изменение или они могут продолжать запрашивать одно. Если у них есть только один шанс переключиться, и вы хотите выполнить расчет так, как вы сделали в вопросе, вам нужно подумать о том, как это повлияет на конец. Ясно, что вы можете просто полагаться на симметрию, чтобы сказать, что ни один из них не выигрывает, прежде чем они посмотрят на числа.
Парадокс случайных натуральных чисел
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v