Парадокс в определении работы [дубликат]

Итак, вы открыли кое-что, что на самом деле очень важно, и если бы я мог добиться своего, это присутствовало бы в каждом стартовом учебнике по механике.

Дело в том, что энергия — это всего лишь псевдоматериал .

Если у вас в коробке обычные вещи, то у них есть два свойства:

1. если количество вещей в ящике меняется, значит, вещи либо перетекли через борта, либо телепортировались туда из какого-то другого «снаружи» (то есть «законсервированы»), и
2. если вы приведете эту коробку в движение, каждый наблюдатель согласится с тем, сколько вещей находится в коробке (это «независимо от кадра»).

Энергия подчиняется первому, она сохраняется, поэтому вы можете думать о ней как о чем-то вроде «материала». Но он не является каркасно-независимым, так что это не такой материал, как, скажем, молекулы сахара. Если вы перейдете в систему отсчета, где вы прыгаете с парашютом на Стоунхендж, кажется, что он движется вверх с постоянной скоростью и, таким образом, обладает кинетической энергией. Эта кинетическая энергия не меняется, потому что она существует в состоянии баланса сил, поэтому она вообще не ускоряется, но и не равна нулю.

Когда силы не уравновешены, все согласны с изменением скорости. Но кинетическая энергия квадратична по скорости, поэтому одно и то же изменение скорости соответствует гораздо большему изменению кинетической энергии в тех системах отсчета, где объект уже движется в этом направлении очень быстро,

$$\frac12 ~m~ (u + v)^2 = \frac12 ~m~ u^2 + m~u~v + \frac12~m~v^2.$$ Таким образом, поезд начинает двигаться быстрее,$v=1\text{ km}/\text{hr}.$В сопутствующей системе координат, где$u=0$изменение кинетической энергии составляет некоторую величину$E=\frac12mv^2$. Но в кадре, где этот поезд движется вперед в$u=100\text{ km}/\text{hr}$, этот квадратичный закон означает, что он получил$201 E$кинетической энергии. Базовые энергии не совпадают (начиная с$10000~E$энергии), а также изменения неодинаковы.

Решение состоит в том, чтобы умножить каждую силу на скорость, с которой она действует, чтобы получить скорость изменения кинетической энергии. Это называется мощностью, которую эта сила проявляет в любой момент, и это скалярное произведение, поэтому существует также косинус угла между силой и скоростью,$P = \vec F \cdot \vec v = F~v~\cos\theta.$

Если вы проинтегрируете результирующую мощность всех сил с течением времени, вы получите полное изменение кинетической энергии. Но если сила постоянна, то вы просто умножаете скорость на время, и это дает вам смещение объекта.

Таким образом, теорема о работе-энергии по-прежнему применима в новой системе отсчета, просто изменения кинетической энергии все разные, поэтому работы также должны быть разными, чтобы математика по-прежнему приравнивала работу к изменению кинетической энергии.

Вы заметили кое-что очень важное в работе, то, что почти никогда не упоминается в явном виде на вводных занятиях по физике. Конкретно: работа является каркасным вариантом. Это означает, что объем проделанной работы зависит от системы отсчета.

Итак, немедленная реакция на это наблюдение обычно примерно такая: «но если работа зависит от системы отсчета, то энергия может сохраняться только в определенных системах отсчета». Ключ к пониманию — помнить, что импульс также сохраняется, и работать с последствиями сохранения импульса.

Предположим, у вас есть человек, стреляющий из винтовки из кузова пикапа. Для простоты будем говорить, что тележка весит 1000 кг и имеет колеса без трения, пуля весит 5 г и после выстрела имеет скорость 200 м/с в той системе отсчета, в которой тележка и пуля изначально находились в состоянии покоя. В этой системе отсчета пуля приобрела энергию 100 Дж и имеет импульс 1 кг м/с. Из-за сохранения импульса грузовик имеет импульс -1 кг м/с и, следовательно, незначительное изменение скорости -1 мм/с.

Теперь рассмотрим ту же ситуацию в кадре, где грузовик изначально движется со скоростью 20 м/с. Пуля начинается с 1 Дж и заканчивается 121 Дж. Таким образом, кажется, что почти 20 Дж появились из ниоткуда, поскольку химическая энергия все еще составляет всего 100 Дж. Однако, глядя на грузовик, мы видим, что грузовик стартовал с 200 кДж, но даже при том, что изменение скорости составляет всего -1 мм/с, эта небольшая разница в скорости уменьшает КЭ грузовика на 20 Дж. Таким образом, источником дополнительной КЭ пули фактически является КЭ грузовика, переданная в пуля по закону сохранения импульса.

Обратите внимание на пару важных моментов. Чтобы решить это, вам нужно учитывать как энергию, так и импульс. Поскольку энергия пропорциональна квадрату скорости, небольшое изменение скорости, начиная с нуля, приводит к незначительному изменению энергии, но такое же изменение скорости, начиная с более высокой скорости, приводит к большему изменению энергии. Наконец, обратите внимание, что KE отличается в разных кадрах, но энергия сохраняется в каждом кадре.

Вот количественный пример. Нам нужны две инерциальные системы отсчета,$K$и$K'$, ориентированный стандартным образом (т.$x$-$x'$оси параллельны и др.).$K'$движется со скоростью$u = 1,000$м/с вдоль$x$-ось$K$.

Объект массы$m = 1$кг изначально находится в состоянии покоя$K'$Рамка. Наблюдатель в$K'$применяет силу$F = 1$N в$x'$направление на объект на время$\Delta t =$1 с. Мы хотим вычислить работу, совершенную$F$как измеряется в$K'$кадр и в$K$Рамка.

В$K'$:

Ускорение:

$$a = \frac{F}{m} = 1 \textrm{ m/s}^2.$$

Изменение скорости:

$$\Delta v' = a\Delta t = 1 \textrm{ m/s}.$$

Водоизмещение:

$$\Delta x' = \frac{1}{2}a\Delta t^2 = \frac{1}{2} \textrm{ m}.$$

Работа, выполненная Ф.:

$$W' = F\Delta x' = \frac{1}{2} \textrm{ J}.$$

Изменение в$KE'$:

$$\Delta KE' = \frac{1}{2}mv_{f}'^{2} = \frac{1}{2} \textrm{ J}.$$

Чернила,$a$,$F$, и$\Delta t$все такие же как и в$K'$, согласно Галилею.

Изменение скорости:

$$\Delta v = \Delta v' + u = 1,001 \textrm{ m/s}.$$

Водоизмещение:

$$\Delta x = \Delta x' + u\Delta t = 1,000.5 \text{ m}.$$

Работа, проделанная$F$:

$$W = F\Delta x = F\Delta x' + Fu\Delta t = \frac{1}{2} \textrm{ J} + 1,000 \textrm{ J} = 1,000.5 \textrm{ J}.$$

Изменение в КЭ:

$$\Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m\left(v_f^2 - u^2\right) = 1,000.5 \textrm{ J}.$$

Таким образом, кажется, что мы имеем 1000 Дж энергии, «созданной» просто за счет смены системы отсчета, но именно так мы должны это интерпретировать.$KE$является величиной, зависящей от системы отсчета. Но теорема о работе-энергии является галилеевым инвариантом.

Для вашего примера со Стоунхенджем пусть$m$быть масса Земли, 5,972$\times$10$^{24}$кг. В$K'$, остальной каркас Земли,$a$,$\Delta v'$,$\Delta x'$,$W$, и$\Delta KE$все становятся примерно нулевыми. Казалось бы, это приводит к противоречию, так как в кадре$K$, остальная рамка Солнца,$\Delta KE$равен нулю, но появляется$W \neq 0$, так как Стоунхендж перемещается на заметное расстояние за 1 секунду. Однако,$W$в теореме работа-энергия есть чистая проделанная работа, и мы должны включить все силы, действующие на Стоунхендж, которые при суммировании дают нулевую результирующую силу, параллельную направлению его движения.

Кроме того, как объект, движущийся в пространстве с постоянной скоростью, вообще «знает», что он движется?

Нет.

И объект не знает собственной кинетической энергии.

Если приложить к объекту силу в 1 ньютон в течение 1 секунды, энергия объекта изменится. Но насколько она меняется, зависит от системы отсчета. Он может увеличиваться, увеличиваться очень сильно или уменьшаться. Или даже оставаться постоянным (если скорость объекта изменила направление).

Энергия - это не сумма денег на счету в банке :) Энергия объекта зависит от системы отсчета. Вам просто нужно придерживаться какой-то системы отсчета и рассчитывать энергию, используя ее. Тогда энергия останется постоянной.

Если подумать, Земля движется вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, поэтому, если я стою на одном из камней Стоунхенджа на восходе солнца, выбрасывает ли вес моего тела в него 17 мегаватт энергии?

Расчеты не проверял, но вроде да. Вы производите работу по камню. Земля производит работу на вас. Ваша энергия, энергия камня и энергия Земли остаются постоянными. Это не очень удобная система отсчета, но ее можно использовать.

Кажется, что определение работы содержит некоторую оговорку о том, что расстояние, на которое перемещается объект, должно быть каким-то образом связано с силой, но мне это совершенно непонятно.

Для меня это тоже было контринтуитивно. Но не больше :)

Приложить некоторую силу к стоящему автомобилю гораздо проще, чем приложить такую ​​же силу к быстро движущемуся автомобилю.

Что для меня совершенно бессмысленно, так это то, что изменение кинетической энергии прямо пропорционально расстоянию, на которое перемещается объект.

Я думаю, что это неправильно. Изменение кинетической энергии пропорционально пройденному расстоянию только тогда, когда объект непрерывно ускоряется (т.е. его скорость непрерывно изменяется). Изменение кинетической энергии зависит от изменения скорости.

Что, если объект просто случайно окажется в движении?

В этом случае, используя уравнения линейного движения, если приложенная сила является единственной силой, действующей на тело, произведение приложенной силы и смещения объекта под действием силы дает изменение кинетической энергии тела. объект.