"Пифагорейская задача трех тел" - для сравнения нужно несколько точек из точного решения.

примечание: если вы проголосуете (или даже если вы этого не сделаете), не забудьте прокрутить вниз и увидеть также отличный ответ - он прекрасен!

Пифагорейская задача трех тел , также известная как проблема Буррау, является частным случаем общей задачи трех тел, где три тела имеют массы 3, 4 и 5, а начальные условия таковы, что они начинаются в состоянии покоя, в вершины прямоугольного треугольника 3-4-5.

Я вставил несколько скриншотов из документов , связанных здесь .

Подробнее можно посмотреть и прочитать в этом посте

И посмотрите это видео - похоже, что время, отображаемое по сюжету в видео,$40\times$время в газете.

Первоначально предполагалось, что это может иметь какое-то особое значение, но, похоже, это не так. Однако это представляет большую проблему для численных интеграторов, поскольку приводит к нескольким очень близким (~$10^{-4}$) проходит между парами, и многие распространенные интеграторы не реагируют достаточно быстро, уменьшая размер шага, чтобы поддерживать числовую точность.

Это то, что произошло со мной при использовании стандартного интегратора ODE по умолчанию в SciPy.

Есть несколько трюков, которые можно попробовать в SciPy, и, конечно же, в других интеграторах, доступных в python, и на самом деле я могу просто реализовать некоторые методы Рунге-Кутты более высокого порядка и написать свой собственный сверхбдительный обработчик размера шага . Это не обязательно должно быть быстро, потому что довольно скоро один из трех выбрасывается, а два других возвращаются к вращению двух тел. Это довольно часто встречается в ситуациях с тремя телами, в компьютерах и в тройных звездных системах, которые недостаточно иерархичны.

Что мне нужно сейчас , так это сравнить результаты с правильным численным решением - таблицей с выбором некоторых точных координат в зависимости от времени. Сравнение с YouTube не так точно, и нет никаких гарантий, что они верны!

Кто-нибудь знает, где я могу найти такие номера ?

примечание: комментарий указывает, что я должен быть осторожен со словом «правильно». Я ищу результаты, используя решатель ODE, который хорошо работает с жесткими уравнениями ( см .$t=70$.

Вот пример вывода и скрипт. Это не правильно. Вы можете найти хорошие решения, представленные на YouTube и в других местах, но я не могу найти численные результаты, которые помогли бы мне в отладке.

Если вы хотите предложить улучшение Python, вы можете оставить ответ или комментарий на мой вопрос в stackoverflow.

def deriv(X, t):

    Y[:6] = X[6:]

    r34, r35, r45 = X[2:4]-X[0:2], X[4:6]-X[0:2], X[4:6]-X[2:4]
    thing34 = ((r34**2).sum())**-1.5
    thing35 = ((r35**2).sum())**-1.5
    thing45 = ((r45**2).sum())**-1.5

    Y[6:8]   =  r34*thing34*m4 + r35*thing35*m5
    Y[8:10]  =  r45*thing45*m5 - r34*thing34*m3
    Y[10:12] = -r35*thing35*m3 - r45*thing45*m4

    return Y


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

# Pythagorean Three Body Problem
# This script WILL NOT solve it yet, just for illustration of the problem

m3, m4, m5 = 3.0, 4.0, 5.0

x0 = [1.0, 3.0] + [-2.0, -1.0] + [1.0, -1.0]
v0 = [0.0, 0.0] + [ 0.0,  0.0] + [0.0,  0.0] 
X0 = np.array(x0 + v0)

t = np.linspace(0, 60,  50001)

Y = np.zeros_like(X0)

tol  = 1E-9 # with default method higher precision causes failure
hmax = 1E-04
answer, info = ODEint(deriv, X0, t, rtol=tol, atol=tol,
                      hmax=hmax, full_output=True)

xy3, xy4, xy5 = answer.T[:6].reshape(3,2,-1)
paths         = [xy3, xy4, xy5]

plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
for x, y in paths:
    plt.plot(x, y)
for x, y in paths:
    plt.plot(x[:1], y[:1], 'ok')
plt.xlim(-6, 6)
plt.ylim(-4, 4)
plt.title("This result is WRONG!", fontsize=16)
plt.subplot(4,1,3)
for x, y in paths:
    plt.plot(t, x)
plt.ylim(-6, 4)
plt.subplot(4,1,4)
for x, y in paths:
    plt.plot(t, y)
plt.ylim(-6, 4)
plt.show()