Плотность солнечной энергии по сравнению с компостной кучей

Ваша (садовника) интуиция неверна. Если увеличить размер компостной кучи до размеров звезды, то ее ядро ​​будет таким же горячим, как у Солнца. При прочих равных условиях (хотя компостные кучи — это не водород плюс гелий), температура сферической компостной кучи будет зависеть только от ее общей массы, деленной на ее радиус.$^{*}$.

Чтобы выдержать вес всего вышеперечисленного материала, требуется большой градиент давления. Это, в свою очередь, требует, чтобы внутреннее давление звезды было очень большим.

Но почему именно эта комбинация температуры/плотности? Ядерные реакции на самом деле не дают ядру нагреваться . Без них звезда излучала бы со своей поверхности и продолжала бы сжиматься, а в центре становилась бы еще горячее. Ядерные реакции дают достаточно энергии, равной энергии, излучаемой с поверхности, и, таким образом, предотвращают необходимость дальнейшего сжатия.

Ядерные реакции начинаются, когда ядра достигают достаточной кинетической энергии (определяемой их температурой), чтобы преодолеть кулоновский барьер между ними. В этом случае сильная температурная зависимость ядерных реакций действует как внутренний термостат. Если скорость реакции возрастет, звезда расширится, и температура ядра снова понизится. И наоборот, сжатие приводит к увеличению скорости ядерной реакции и повышению температуры и давления, препятствующих любому сжатию.

$*$Это соотношение возникает из теоремы вириала , которая гласит, что для жидкости/газа, достигших механического равновесия, сумма (отрицательной) гравитационной потенциальной энергии и удвоенной внутренней кинетической энергии будет равна нулю.

Внутренняя кинетическая энергия может быть аппроксимирована как$3k_BT/2$на частицу (для одноатомного идеального газа) и гравитационной потенциальной энергии как$-\alpha GM^2/R$, куда$M$это масса,$R$радиус и$\alpha$— численный фактор порядка единицы, зависящий от точного профиля плотности. Тогда теорема вириала становится полной кинетической энергией

Другой способ увидеть, что плотность мощности Солнца должна быть довольно низкой (или что очень большие компостные кучи сильно нагреваются), а также увидеть соотношение температуры и радиуса, — это рассчитать, какой должна быть температура поверхности для заданной плотности мощности.

Итак, мы можем смоделировать Солнце как сферу с радиусом$R$, а удельная мощность$\rho$. Тогда полный объем Солнца

а общая выходная мощность

Тогда площадь поверхности Солнца

Таким образом, поток энергии через поверхность Солнца равен

(Обратите внимание, что это выглядит как$R$: чем больше звезда, тем выше поток для данной плотности мощности.)

И мы можем использовать закон Стефана-Больцмана, который связывает температуру поверхности с потоком, предполагая, что Солнце является черным телом.

И совмещая это, мы получаем

Где$T$- температура поверхности Солнца. Эта формула говорит вам, что большие объекты, генерирующие энергию, нагреваются намного сильнее, чем маленькие с той же плотностью мощности: температура поверхности равна корню четвертой степени из радиуса.

Подставляя числа, мы получаем слишком высокую температуру поверхности, из чего я заключаю, что плотность мощности Солнца на самом деле намного ниже , чем цифра из Википедии: эта цифра, вероятно, относится к той части Солнца, где происходит термоядерный синтез. только не весь объем.

Если куча была самогравитирующей, то чем больше куча, тем теплее ее центр. Идея заключается в том, что в ядре материал будет чувствовать давление, оказываемое всеми слоями выше, и вы, вероятно, знаете, что если вы на что-то надавите, оно нагреется.

Что здесь интересно, так это то, что все внешние слои вашей самогравитирующей «кучи» будут стремиться схлопнуться к центру (с этим лучше всего справляется гравитация), и в результате давление будет продолжать расти, а вместе с ним и температура в ядре. . Если его масса достаточно велика, температура, достигаемая благодаря этому механизму, настолько высока, что молекулы расщепляются, атомы ионизируются, а ядра сливаются, создавая термоядерную энергию.

Эта энергия, генерируемая в центре, будет распространяться наружу и оказывать давление на разрушающийся материал. В результате система достигает равновесия, при котором гидродинамическое давление уравновешивается радиационным давлением, возникающим при синтезе в центре. Можно провести математику и вычислить, какая температура требуется для слияния водорода с гелием: результат равен 15,7 миллиона К.