Почему cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)cos⁡(β)−sin⁡(α) sin⁡(β)\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)−\sin(\alpha)\sin(\beta)?

1. Вращение$\mathbb R^2$сквозной угол$\alpha$представляет собой линейное преобразование с матрицей$\left( \begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha &\cos\alpha \end{matrix}\right)$

2. Вращение$\mathbb R^2$сквозной угол$\beta$представляет собой линейное преобразование с матрицей$\left( \begin{matrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta &\cos\beta \end{matrix}\right)$

3. Вращение$\mathbb R^2$сквозной угол$\alpha+\beta$представляет собой линейное преобразование с матрицей$\left( \begin{matrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) &\cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right)$

4. Вращение$\mathbb R^2$сквозной угол$\alpha+\beta$состав вращения$\mathbb R^2$сквозной угол$\alpha$и вращение$\mathbb R^2$сквозной угол$\beta$.

5. Матрица композиции двух линейных преобразований есть произведение матриц этих преобразований.

6. Так

   $$\left( \begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha &\cos\alpha \end{matrix}\right)\cdot \left( \begin{matrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta &\cos\beta \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) &\cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right)$$

7. Так, в частности,

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Вы также можете просто доказать это, используя комплексные числа:

Отождествляя действительную и мнимую части, получаем

Конечно, вам нужно знать основы комплексных чисел, но если вы уже знаете все это, обычно очень быстро можно доказать большую часть этих громоздких тригонометрических формул с комплексными числами, как это сделал я здесь.

Вы также можете доказать это, используя простую лемму:

Позволять$f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$быть дважды дифференцируемой, такой, что$f''=-f$. Затем$f(x) = f(0)\cos x + f'(0) \sin x$.

Действительно, если$g(x)= f(x) - f(0)\cos x - f'(0)\sin x$, затем$g''=-g$и$g(0)=g'(0)=0$. Но$(g'^2+g^2)' = 2 g'(g''+g) = 0$, следовательно$g'^2+g^2$является константой, т.$0$из-за его стоимости в$x=0$. Следовательно$g(x)=0$повсюду.

Применив это к$f(x) = \cos(x+\beta)$, у нас есть$f(0) = \cos\beta$и$f'(0) = -\sin\beta$, следовательно

В случае$h(x) = \sin(x+\beta)$, у нас есть$h(0) = \sin\beta$и$h'(0) = \cos\beta$, следовательно

Повернув единичную окружность на угол$b$мы видим, что точка$(cos(a-b),sin(a-b))$карты на$(cos(a),sin(a))$и точка$(1,0)$карты на$(cos(b),sin(b))$.

Поскольку повороты сохраняют расстояния, расстояние между точками$(cos(a-b),sin(a-b))$и$(1,0)$равно расстоянию между точками$(cos(a),sin(a))$и$(cos(b),sin(b))$. Тогда формула расстояния дает:

$\sqrt{(cos(a-b)-1)^2+(sin(a-b)-0)^2}=\sqrt{(cos(a)-cos(b))^2+(sin(a)-sin(b))^2}$

С гораздо меньшими усилиями, чем вы думаете (и используя$sin(x)^2+cos(x)^2=1$три раза), вы достигаете желаемой идентичности

Матрица представляет собой линейное преобразование. Каждый из его столбцов содержит координаты преобразованной базы. Чтобы применить его к вектору, умножьте каждый столбец матрицы на соответствующую координату (координата x для первого столбца и т. д.) и сложите результаты. Применение матрицы к матрице — это применение левой матрицы к каждому столбцу (базовому вектору) правой матрицы. Это сводится к правилу «умножить строку на столбец».

Чтобы увидеть, что столбцы матрицы образуют преобразованную базу в случае поворота, учтите, что первый столбец содержит координаты$\cos \alpha$и$\sin \alpha$принадлежащий$\mathbf i$вектор, повернутый на$\alpha$. Второй столбец — это первый столбец, повернутый на$\pi / 2$. Например, для$\pi / 4$вращение, ваш первый столбец будет$(1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)^T$.

Неправильно сделанная линейная алгебра Сергея Трейла излагает эти принципы с самого начала.