Почему для фотона не существует волновой функции, тогда как она существует для электрона?

Утверждение, что у фотона нет волновой функции, может ввести в заблуждение. Более точно можно сказать, что у фотона нет строго наблюдаемой позиции . Фотон не может быть строго локализован в какой-либо конечной области пространства. Его можно приблизительно локализовать, так что его можно было бы с тем же успехом ограничить конечной областью для всех практических целей; но выражение «не имеет волновой функции» относится к отсутствию наблюдаемой строгой позиции.

Электрон также не имеет строго наблюдаемого положения, за исключением строго нерелятивистских моделей.

В релятивистской квантовой теории поля ничто не имеет наблюдаемой строгой позиции. Это следствие общей теоремы, называемой теоремой Риха-Шлидера . Доказательство этой теоремы нетривиально, но оно прекрасно объяснено в [1].

Релятивистская квантовая теория поля не имеет строгих наблюдаемых положений одной частицы, но у нее есть другие виды строго локализованных наблюдаемых, например, наблюдаемые, соответствующие величине и направлению электрического и магнитного полей в произвольно малой области пространства. Однако эти наблюдаемые не сохраняют количество частиц. Строго локализованные наблюдаемые обязательно превращают одночастичные состояния в состояния с неопределенным числом частиц. (На самом деле, даже игнорируя вопрос локализации, определение «частицы» в релятивистской квантовой теории поля нелегко, но я не буду вдаваться в подробности здесь.)

Например, релятивистская квантовая электродинамика (КЭД) имеет наблюдаемые, соответствующие амплитудам электрического и магнитного полей. Эти полевые операторы могут быть локализованы. Операторы рождения/уничтожения частиц могут быть выражены через операторы поля и наоборот, но связь нелокальна .

Технически теорема Ри-Шлидера утверждает, что в релятивистской квантовой теории поля не может быть строго локализованного оператора, аннулирующего вакуумное состояние. Следовательно, в нем не может быть строго локализованного оператора, считающего количество частиц. (Вакуумное состояние не имеет частиц, поэтому строго локализованный оператор подсчета частиц аннулирует вакуумное состояние, что невозможно согласно теореме Ри-Шлидера.)

Строго нерелятивистские модели освобождаются от этой теоремы. Чтобы объяснить, что означает «строго нерелятивистский», рассмотрим релятивистское соотношение между энергией$E$и импульс$p$, а именно$E=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}$, где$m$- масса одной частицы. Если$p\ll mc$, то можно использовать приближение$E\approx mc^2+p^2/2m$. Нерелятивистская модель — это та, которая рассматривает это приблизительное соотношение как точное . Наиболее известное одночастичное уравнение Шрёдингера является моделью этого типа. В такой модели есть оператор строгого положения, и в такой модели отдельные частицы могут быть строго локализованы в конечной области пространства.

Так как фотоны массы ($m=0$), мы не можем использовать нерелятивистскую модель для фотонов. Мы можем использовать гибридную модель, такую ​​как нерелятивистская КЭД (называемая NRQED), которая включает фотоны, но нерелятивистски рассматривает электроны. Но даже в этой гибридной модели фотоны не могут быть строго локализованы в какой-либо конечной области пространства. Грубо говоря, фотоны все еще релятивистские, хотя электроны — нет. Таким образом, в NRQED мы можем (и делаем) иметь наблюдаемую позицию одного электрона, но у нас все еще нет наблюдаемой позиции одного фотона.

«Волновая функция» — это более общая концепция, которая по-прежнему применяется, даже когда не существует строгих наблюдаемых позиций. Тип «волновой функции», используемый в релятивистской квантовой теории поля, сильно отличается от одночастичной волновой функции.$\psi(x,y,z)$известны из строго нерелятивистской квантовой механики. В релятивистском случае волновая функция не является функцией$x,y,z$. Наоборот, это функция более абстрактных переменных, и их множество (номинально бесконечное множество), и она описывает состояние всей системы , которая, как правило, вообще не имеет четко определенного числа частиц. Люди не используют этот тип волновой функции очень часто, потому что это очень сложно, но время от времени она используется. Например, Фейнман использовал этот вид «волновой функции» в [2] для изучения релятивистской квантовой теории поля, называемой теорией Янга-Миллса, которая представляет собой упрощенную версию квантовой хромодинамики, в которой есть глюоны, но нет кварков.

В этом обобщенном смысле один фотон может иметь волновую функцию.

В нерелятивистском случае$x,y,z$в$\psi(x,y,z)$соответствуют компонентам наблюдаемых положения частицы. Когда физики говорят, что у фотона нет волновой функции, они имеют в виду, что у него нет волновой функции, являющейся функцией собственных значений наблюдаемых положений, и это потому, что у него нет никаких наблюдаемых строгого положения.

Также см. эти очень похожие вопросы:

Можем ли мы определить волновую функцию фотона как волновую функцию электрона?

Волновая функция фотона?

Волновая функция ЭМ и волновая функция фотона

Использованная литература:

[1] Виттен, «Заметки о некоторых свойствах запутанности квантовой теории поля», http://arxiv.org/abs/1803.04993.

[2] Фейнман (1981), «Качественное поведение теории Янга-Миллса в измерениях 2 + 1», Nuclear Physics B 188: 479-512, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321381900055

Вот волновая функция фотона, которая является решением квантованного уравнения Максвелла:

В квантовой теории поля необходимо иметь решение плоской волновой функции для полей, над которыми действуют операторы рождения и уничтожения.

Этот пост в блоге описывает, как классические поля возникают из квантовых полей КТП.