Изменяет ли амплитудная модуляция частоту фотона или количество фотонов?

В дальнейшем мы предполагаем, что поляризация выровнена таким образом, что скалярная трактовка электрического поля оправдана. Кроме того, мы ограничиваем обсуждение фиксированной координатой$x=0$отбросить зависимость от волнового вектора.

Классическое описание

Рассмотрим классическое электрическое поле

$$E(t)=A(t)\cos\omega_c t \tag{1}$$

с угловой несущей частотой$\omega_c$где мы модулируем амплитуду поля с помощью

$$A(t)=A_0\cos\omega_m t \tag{2}$$

где$\omega_m$– частота угловой модуляции. Для иллюстрации примем$\omega_m\ll\omega_c$, например,$\omega_c$может быть в оптическом то время как$\omega_m$может быть в области низких частот.

На этой картинке мы можем думать об электрической волне, распространяющейся с частотой$\omega_c$в то время как его амплитуда медленно колеблется с$\omega_m$.

Тем не менее, мы также можем объединить уравнение. (1) с ур. (2) и напишите

$$E(t) = A_0\cos\omega_m t\cos\omega_c t = \frac{1}{2}A_0\bigl(\cos\omega_+t+\cos\omega_-t\bigr) \tag{3}$$

где мы определяем$\omega_\pm=\omega_c\pm\omega_m$.

На этом рисунке у нас фактически есть две волны, одна из которых быстро колеблется с$\omega_+$и один медленно колеблется с$\omega_-$.

Все идет нормально. Хотя, экв. (1) и ур. (3) предложить другую точку зрения, обе эквивалентны и должны давать одинаковые (классические) предсказания.

Квантовое описание

Теперь обратимся к квантовому описанию, где мы определяем оператор электрического поля как

$$\hat{E} = i\sum_i\omega_i\left\{\hat{a}_ie^{-i\omega_it}-\text{c.c}\right\} \tag{4}$$

с$\text{c.c.}$ссылаясь на комплексно-сопряженный термин, и где$\hat{a}_i$является оператором уничтожения режима$i$удовлетворяющее каноническому коммутационному соотношению

$$\left[\hat{a}_i,\hat{a}_j^\dagger\right]=\delta_{ij} \tag{5}.$$

Мы предполагаем двухмодовое когерентное состояние$\vert\alpha_1,\alpha_2\rangle$с$\alpha_i\in\mathbb{C}$и вычислить математическое ожидание оператора электрического поля для этого состояния

$$\begin{aligned} \langle\alpha_1,\alpha_2\vert\hat{E}\vert\alpha_1,\alpha_2\rangle &= i\omega_1\left(\alpha_1e^{-i\omega_1t}-\text{c.c.}\right)+ i\omega_2\left(\alpha_2e^{-i\omega_2t}-\text{c.c.}\right)\\ &= -2\omega_1\operatorname{Im}\left\{\alpha_1e^{-i\omega_1t}\right\}+ -2\omega_2\operatorname{Im}\left\{\alpha_2e^{-i\omega_2t}\right\} \end{aligned}\tag{6}.$$

С выбором$\omega_1=\omega_+$и$\omega_2=\omega_-$а также$\alpha_i=-iA_0/(4\omega_i)$(с точностью до некоторых факторов, сохраняющих единицу), мы можем восстановить наш классический результат, приведенный в уравнении. (4).

С другой стороны, мы также должны быть в состоянии воспроизвести уравнение. (1) путем утверждения одномодового когерентного состояния$\vert\alpha(t)\rangle$с$\alpha(t)\propto A_0\cos(\omega_mt)/\omega$.

Однако на этот раз мы могли бы придумать эксперимент, который различает эти два состояния!

Напомним, что фотоэлектрический эффект описывает испускание электронов фотоном, падающим на металл. Энергия фотона$\hbar\omega$должен быть больше, чем рабочий потенциал$W$который связывает электрон с металлом. Удивительно, но фотоэлектрический эффект (без учета многофотонного поглощения) не зависит от интенсивности.

Давайте предположим, что у нас есть метаматериал, рабочий потенциал которого адаптирован к$\hbar\omega_c$. В этом случае мы могли бы различать одномодовое и двухмодовое когерентное состояние, поскольку амплитуда$\vert\alpha\vert$когерентного состояния$\vert\alpha\rangle$фиксирует среднее значение (пуассоновской) статистики фотонов, но энергия, которая определяет, происходит ли эмиссия электрона, определяется частотой моды.

Если мы вспомним, как мы получили ур. (3) от мод в замкнутом резонаторе это тоже имеет смысл.

Правильно ли сделать вывод, что амплитудная модуляция оптического лазерного сигнала сдвигает энергию участвующих фотонов?