Почему энергия в батарее QV, а энергия в конденсаторе QV/2?

Короткий ответ:

• идеальный аккумулятор имеет постоянное напряжение$U_{nom}$(номинальное напряжение) до тех пор, пока он не опустеет, поэтому накопленная энергия составляет:

  $$\begin{aligned} E &= U_{nom} \times I \times T\\ &= U_{nom} \times \text{capacity} \end{aligned}$$

• идеальный конденсатор имеет напряжение, пропорциональное заряду, поэтому оно линейно уменьшается до 0:

Визуально, если вы рисуете зависимость мощности от времени (при постоянном токе), то вы получите прямоугольник для батареи и треугольник (то есть половину площади) для конденсатора.

Длинный ответ: Если посмотреть подробнее, особенно на батарею, то энергии не совсем$E=Q \times U$:

• напряжение на самом деле не является постоянным: для большинства аккумуляторных технологий оно начинается выше номинального напряжения, затем есть длительный период, когда оно близко к номинальному напряжению, и, наконец, оно быстро падает, когда батарея почти разряжена (обычно рекомендуется остановить разрядка до того, как вы окажетесь в этой области быстрого падения напряжения: вы получите очень мало энергии, но значительно сократите срок службы батареи).
• в батарее есть внутреннее сопротивление, поэтому часть энергии теряется в батарее еще до того, как она выйдет (вы можете или не хотите учитывать ее как накопленную, обычно это происходит потому, что потери зависят от того, как быстро вы разряжаете батарею). батарея, так что проще иметь что-то постоянное)
• химический состав батареи не является линейным, поэтому вы получаете изменение «внутреннего сопротивления» / «емкости» в зависимости от тока.

По конденсаторам сложно сказать что-то общее, но в зависимости от типа могут быть и немаленькие отклонения. Например, некоторые MLCC (многослойные керамические конденсаторы) могут терять 80% своей емкости при более высоком напряжении и восстанавливать ее при более низком напряжении: таким образом, вы храните гораздо меньше энергии, чем ожидалось, в части с более высоким напряжением.

Чего не хватает в других ответах, так это общей для обоих случаев формулы запасенной энергии:

$E = \int_0^Q U(q)\,\mathrm{d}q$

То есть на каждый бит заряда приходится энергия при отдельном напряжении, которое он извлекает или принимает. Химический состав батареи поддерживает относительно постоянное напряжение, принцип работы конденсатора поддерживает напряжение, приблизительно пропорциональное заряду. То есть, если диэлектрик не насыщается, в этом случае сравнительно небольшой дополнительный заряд может вызвать непропорциональное изменение напряжения и, таким образом, не добавить много энергии.

Разница в том, что идеальная батарея является источником постоянного напряжения. Если вы разрядите аккумулятор, напряжение не изменится, пока оно не упадет до нуля, когда он полностью разрядится.

Конденсатор, даже идеальным, не является. Если вы разрядите конденсатор, напряжение упадет до нуля, когда вся энергия будет извлечена.

Чтобы получить накопленную энергию, вы должны интегрировать I * V с течением времени, если вы сделаете это для идеальной батареи, напряжение будет постоянным и может быть извлечено из интеграла, и, таким образом, вы получите только I, интегрированное с течением времени, что равно Q.

Для конденсатора V также зависит от времени. Так что это немного сложнее.

Сейчас в реальной жизни батарея конечно не идеальна. Конечное напряжение заряда батареи может быть 4,2 В, но большая часть кривой разряда будет при 3,7 или 3,6 В. Ваша батарея «12 В», вероятно, поднимется до 14,4 В, если она полностью заряжена.

Важное отличие:

Напряжение конденсатора возрастает, когда в него вводится ток, и падает, когда из него вытекает ток. Таким образом, напряжение не является постоянным, поскольку оно пропорционально заряду, хранящемуся в конденсаторе. Q=I×t=C×U.

Можно приблизительно предположить, что батареи имеют постоянное напряжение, когда ток вытягивается или вводится. Вы не разряжаете батареи до 0 В, и напряжение не будет линейно зависеть от заряда, оставшегося в батарее. Например, на литиевых батареях написано 3,6 В. На самом деле это только номинальное напряжение, используемое для расчетов, а фактическое напряжение батареи может составлять 4,2 В, когда она полная, и 3,0 В, когда она разряжена, и не будет меняться линейно, но эффективное напряжение между полным и пустым можно рассчитать как 3,6 В. . Таким образом, перемещаемый заряд равен Q=I×t, но Q=C×U не применим к батареям, а только к конденсаторам.

Еще более простой способ описать разницу — сказать, что если напряжение устройства изменяется линейно с зарядом от Vmax до Vmin, энергия будет пропорциональна Q(Vmax+Vmin)/2. Если Vmin=0, то энергия будет равна Q(Vmax+0)/2, т.е. QVmax/2; если Vmin=Vmax, энергия будет равна Q(Vmax+Vmax)/2, т.е. QVmax. Если Vmin находится между 0 и Vmax, то энергия будет между QVmax/2 и QVmax.

Если у вас есть источник напряжения и вы хотите зарядить конденсатор, вы неизбежно используете сопротивление цепи (либо преднамеренный резистор, либо непреднамеренное сопротивление кабеля), чтобы гарантировать, что пиковый ток во время зарядки не будет слишком высоким. И, если вы сделаете математику, общая энергия, полученная конденсатором:

Принимая во внимание, что полная энергия, отдаваемая источником напряжения, составляет:

Таким образом, потери энергии (50%) связаны с сопротивлением кабеля или преднамеренным сопротивлением.

Для сравнения, если бы ваш источник напряжения был программируемым и мог быть настроен на увеличение напряжения, то энергия, подаваемая на конденсатор, была бы энергией, высвобождаемой из источника напряжения. Другими словами, при попытке зарядить конденсаторы от жесткого источника напряжения возникает ситуация коллизии. Этого не происходит с катушками индуктивности; подайте напряжение на катушку индуктивности, и ток возрастет линейно, а энергия будет храниться очень эффективно. Вот почему мы используем их в импульсных источниках питания.