Почему эта метрика не охватывает все пространство де Ситтера?

Question

Почему эта метрика не охватывает все пространство де Ситтера?

Дэннигольдштейн

Я работаю над задачей из книги Кэрролла « Пространство-время и геометрия» . Предположительно, я должен быть в состоянии использовать геодезическое уравнение

\frac{д^{2} {Икс}^{мю}}{д λ^{2}} + Г_{р о}^{мю} \frac{д {Икс}^{о}}{д λ} \frac{д {Икс}^{р}}{д λ} "=" 0

$\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\lambda}\frac{dx^\rho}{d\lambda}=0$ чтобы показать, что плоская метрика де Ситтера

д с^{2} "=" - д т^{2} + е^{2 ЧАС т} [д {Икс}^{2} + д у^{2} + д г^{2}]

$ds^2=-dt^2+e^{2Ht}[dx^2 + dy^2 + dz^2]$

не покрывает все многообразие, известное как пространство де Ситтера. Мне настоятельно рекомендуется объединить эти два уравнения, чтобы найти аффинный параметр $\lambda$ как функция $t$ , а затем показать, что геодезические пространства достигают $t=-\infty$ при конечном значении аффинного параметра, демонстрируя то, что я пытался доказать. Я начинаю с параметризации метрики с точки зрения собственного времени, $\tau$ $(\lambda = \tau)$ , чтобы получить:

- 1 "=" - \frac{д т^{2}}{д λ^{2}} + е^{2 ЧАС т} [\frac{д {Икс}^{2}}{д λ^{2}} + \frac{д у^{2}}{д λ^{2}} + \frac{д г^{2}}{д λ^{2}}]

$-1 =-\frac{dt^2}{d\lambda^2}+e^{2Ht}[\frac{dx^2}{d\lambda^2} + \frac{dy^2}{d\lambda^2} + \frac{dz^2}{d\lambda^2}]$

И из геодезического уравнения я вывожу:

\frac{д^{2} {Икс}^{я}}{д λ^{2}} "=" - 2 ЧАС (\frac{д т}{д λ}) (\frac{д {Икс}^{я}}{д λ})

$\frac{d^2 x^i}{d\lambda^2} = -2H\left(\frac{dt}{d\lambda}\right)\left(\frac{dx^i}{d\lambda}\right)$

Чтобы решить любое из этих трех уравнений, скажем, например, первое, я делаю замену:

ν "=" \frac{д Икс}{д λ}, т^{'} "=" \frac{д т}{д λ}

$\nu = \frac{dx}{d\lambda}, t'=\frac{dt}{d\lambda}$

затем

ν^{'} "=" - 2 ЧАС ν т^{'} ν^{'} / т^{'} "=" \frac{д ν}{д λ} \frac{д λ}{д т} "=" - 2 ЧАС ν "=" \frac{д ν}{д т} \frac{д ν}{д т} "=" - 2 ЧАС ν \Rightarrow ν "=" С_{1} е^{- 2 ЧАС т}

$\nu'=-2H\nu t'\\\nu'/t'=\frac{d\nu}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dt}=-2H\nu=\frac{d\nu}{dt}\\\frac{d\nu}{dt}=-2H\nu\Rightarrow\nu = C_1e^{-2Ht}$

Подставив обратно в метрику, у меня осталось:

1 "=" {(\frac{д т}{д λ})}^{2} - е^{2 ЧАС т} (\sum_{я} С_{я}^{2} е^{- 4 ЧАС т})

$1 = \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 - e^{2Ht}\left(\sum_i C_i^2 e^{-4Ht}\right)$

Определять $\sum_i C_i^2 = \alpha$ , что дает:

\frac{д т}{д λ} "=" \sqrt{1 + α е^{- 2 ЧАС т}}

$\frac{dt}{d\lambda} = \sqrt{1 + \alpha e^{-2Ht}}$

Я не могу найти хорошее аналитическое решение для $\lambda(t)$ это демонстрирует, что $t \rightarrow -\infty$ в конечное значение аффинного параметра, не полагаясь на компьютер, и это не оставляет мне хорошей физической (или математической) интуиции относительно того, что происходит в задаче. Я где-то ошибся, или это, как сказал бы Уолтер Кронкайт (и мой профессор GR), «так оно и есть»? Может ли кто-нибудь указать мне в правильном направлении или показать мне, как действовать дальше? Заранее спасибо.

Майкл

Просто посмотрев на ваше последнее уравнение (не проверял вывод): в

t \to - \infty

$t\to -\infty$ ограничьте экспоненциальные доминанты, и вы можете упростить квадратный корень, а затем разделить переменные.

Qмеханик

Какое упражнение?

Ответы (1)

Почему эта метрика не охватывает все пространство де Ситтера?

Просто посмотрев на ваше последнее уравнение (не проверял вывод): в $t\to -\infty$ ограничьте экспоненциальные доминанты, и вы можете упростить квадратный корень, а затем разделить переменные.

Дану · Answer 1

Мы рассматриваем метрику

д с^{2} "=" - д т^{2} + а^{2} (т) д {\vec{Икс}}^{2}

$\mathrm{d}s^2=-\mathrm{d}t^2+a^2(t)\mathrm{d}\vec x^2$

где $a(t):= a_0e^{Ht}$ . Чтобы показать, что эти координаты не покрывают все пространственно-временное многообразие, рассмотрим траекторию свободно падающего наблюдателя, которая, конечно, экстремумирует собственное время

т "=" \int д т \sqrt{1 - а^{2} \dot{{\vec{Икс}}^{2}}}

$\tau=\int\mathrm{d}t\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}$ Выполнить вариацию довольно просто. После применения цепного правила несколько раз получаем:

\frac{дельта т [\vec{Икс} (т)]}{дельта \vec{Икс} (т)} "=" 0 ⟹ - \frac{д}{д т} \frac{а^{2} \dot{\vec{Икс}}}{\sqrt{1 - а^{2} \dot{{\vec{Икс}}^{2}}}} "=" - \frac{д}{д т} \vec{п} "=" 0

$\frac{\delta \tau[\vec x(t)]}{\delta \vec x(t)}=0\implies -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{a^2\dot{\vec x}}{\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}}=:-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec p=0$ где мы теперь ввели импульс (на единицу массы)

\vec{p}

$\vec p$ . Обратите внимание, что это имеет смысл, потому что свободно падающий наблюдатель не испытывает сил, поэтому импульс должен быть постоянным. Из нашего определения импульса мы получаем полезное тождество

\frac{а^{4} \dot{{\vec{Икс}}^{2}}}{1 - а^{2} \dot{{\vec{Икс}}^{2}}} "=" {\vec{п}}^{2} ⟹ {\vec{п}}^{2} + а^{2} "=" \frac{а^{2}}{1 - а^{2} \dot{{\vec{Икс}}^{2}}} ⟹ \frac{{\vec{п}}^{2} + а^{2}}{{\vec{п}}^{2}} "=" \frac{1}{а^{2} \dot{{\vec{Икс}}^{2}}}

$\frac{a^4\dot{\vec x^2}}{1-a^2\dot{\vec x^2}}=\vec p^2\implies \vec p^2+a^2=\frac{a^2}{1-a^2\dot{\vec x^2}} \implies \frac{\vec p^2+a^2}{\vec p^2}=\frac{1}{a^2\dot{\vec x^2}}$ Теперь рассмотрим с ненулевой скоростью при

t = 0

$t=0$ , т.е.

\dot{\vec{x}} \neq 0

$\dot{\vec x}\neq 0$ так что

| p | \neq 0

$|p|\neq 0$ , и мы явно оцениваем собственное время, прошедшее между

t = - \infty

$t=-\infty$ и

t = 0

$t=0$ . Это дает

т_{0} "=" \int_{- \infty}^{0} \int д т \sqrt{1 - а^{2} \dot{{\vec{Икс}}^{2}}} "=" \int_{- \infty}^{0} д т \frac{а (т)}{\sqrt{{\vec{п}}^{2} + а^{2} (т)}}

$\tau_0=\int_{-\infty}^0\int\mathrm{d}t\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}=\int_{-\infty}^0\mathrm{d}t\frac{a(t)}{\sqrt{\vec p^2+a^2(t)}}$ Используя --- еще раз --- цепное правило, мы можем перейти к интегралу по

a (t)

$a(t)$ , что выполнимо при «обычном» типе замены переменных с участием обратных тригонометрических функций. Это оставлено в качестве упражнения (частично для того, чтобы ленивые студенты не злоупотребляли этим ответом), и мы просто цитируем результат:

т_{0} "=" {ЧАС}^{- 1} {грех}^{- 1} \frac{1}{| \vec{п} |}

$\tau_0=H^{-1}\sinh^{-1}\frac{1}{|\vec p| }$ который, очевидно, конечен для ненулевых импульсов (случай нулевого импульса, приводящий к бесконечности, также физически очень разумен: если вы стоите на месте, вы никогда не достигнете края!). Таким образом, наблюдатель приходит «из бесконечности» за конечное собственное время. Этого не может быть, если только координаты не покрывают все многообразие, как мы должны были показать.

Почему эта метрика не охватывает все пространство де Ситтера?

Дэннигольдштейн

Майкл

Qмеханик

Ответы (1)

Дану

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Уравнения геодезических по вариационному принципу

Как определяется неполнота системы координат и пространства-времени?

Геодезическое уравнение Эйлера - Лагранжа

Геодезические уравнения

Сомнения в выводе геодезического уравнения

Абстрактное определение сопряженных точек

Решение геодезических на 2-сфере