Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Question

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Питер4075

Я застрял, пытаясь следовать выводу Фостера и Найтингейла геодезического уравнения из двух соседних геодезических $x^{a}\left(u\right)$ и $\tilde{x}^{a}\left(u\right)$ соединенные соединительным вектором $\xi\left(u\right)$ . Моя проблема может заключаться в том, что я не уверен, что означает «первый порядок» в контексте этого вывода. А там опять может и не быть.

Мы знаем это

{\tilde{Икс}}^{а} "=" {Икс}^{а} + ξ^{а} .

$\tilde{x}^{a}=x^{a}+\xi^{a}.$ И, к первому порядку

{\tilde{Г}}_{б с}^{а} "=" Г_{б с}^{а} + \partial_{г} Г_{б с}^{а} ξ^{г} .

$\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}=\Gamma_{bc}^{a}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}.$

Два геодезических уравнения:

\frac{г^{2} {\tilde{Икс}}^{а}}{г {ты}^{2}} + {\tilde{Г}}_{б с}^{а} \frac{г {\tilde{Икс}}^{б}}{г ты} \frac{г {\tilde{Икс}}^{с}}{г ты} "=" 0

$\frac{d^{2}\tilde{x}^{a}}{du^{2}}+\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}\frac{d\tilde{x}^{b}}{du}\frac{d\tilde{x}^{c}}{du}=0$

и

\frac{г^{2} {Икс}^{а}}{г {ты}^{2}} + Г_{б с}^{а} \frac{г {Икс}^{б}}{г ты} \frac{г {Икс}^{с}}{г ты} "=" 0.

$\frac{d^{2}x^{a}}{du^{2}}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$

Вычтите второе геодезическое уравнение из первого геодезического уравнения, чтобы получить

\frac{г^{2} ξ^{а}}{г {ты}^{2}} + {\tilde{Г}}_{б с}^{а} \frac{г {\tilde{Икс}}^{б}}{г ты} \frac{г {\tilde{Икс}}^{с}}{г ты} - Г_{б с}^{а} \frac{г {Икс}^{б}}{г ты} \frac{г {Икс}^{с}}{г ты} "=" 0.

$\frac{d^{2}\xi^{a}}{du^{2}}+\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}\frac{d\tilde{x}^{b}}{du}\frac{d\tilde{x}^{c}}{du}-\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$ Подставляя приведенные выше уравнения для

{\tilde{x}}^{a}

$\tilde{x}^{a}$ и

{\tilde{Γ}}_{b c}^{a}

$\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}$ в это, и я в конечном итоге с

\frac{г^{2} ξ^{а}}{г {ты}^{2}} + Г_{б с}^{а} \frac{г {Икс}^{б}}{г ты} \frac{г ξ^{с}}{г ты} + Г_{б с}^{а} \frac{г ξ^{б}}{г ты} \frac{г {Икс}^{с}}{г ты} + \partial_{г} Г_{б с}^{а} ξ^{г} \frac{г {Икс}^{б}}{г ты} \frac{г {Икс}^{с}}{г ты} + \partial_{г} Г_{б с}^{а} ξ^{г} \frac{г {Икс}^{б}}{г ты} \frac{г ξ^{с}}{г ты} + \partial_{г} Г_{б с}^{а} ξ^{г} \frac{г ξ^{б}}{г ты} \frac{г {Икс}^{с}}{г ты} "=" 0.

$\frac{d^{2}\xi^{a}}{du^{2}}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$ Это правильно, но только если я могу опустить два последних термина.

(\partial_{d} Γ_{b c}^{a} ξ^{d} \frac{d x^{b}}{d u} \frac{d ξ^{c}}{d u})

$\left(\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}\right)$ и

(\partial_{d} Γ_{b c}^{a} ξ^{d} \frac{d ξ^{b}}{d u} \frac{d x^{c}}{d u}) .

$\left(\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}\right).$ Фостер и Найтингейл говорят, что «только первый порядок [в

ξ^{a}

$\xi^{a}$ ] термины сохранены». Но почему эти два термина второго порядка? Делает

ξ^{d} \frac{d ξ^{c}}{d u}

$\xi^{d}\frac{d\xi^{c}}{du}$ считать членом второго порядка в

ξ^{a}

$\xi^{a}$ ? Спасибо

Райан Унгер

Вопросы, на которые можно ответить «да», обычно не одобряются... но ответ - да.

Ответы (1)

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Вопросы, на которые можно ответить «да», обычно не одобряются... но ответ - да.

База · Answer 1

База

ага, подумай $\xi$ как единичный вектор и замените все его экземпляры на $\epsilon \xi$ где $\epsilon$ какое-то маленькое число. Тогда вы увидите, что эти два условия второго порядка в $\epsilon$ .

Питер4075

Спасибо, но я все еще не понимаю, почему что-то, умноженное на производную этого чего-то, должно быть второго порядка. Откуда мы это знаем

\frac{d ξ^{c}}{d u}

$\frac{d\xi^{c}}{du}$ это маленькое число? Я предполагаю, что второй порядок в этом выводе означает что-то в квадрате, а не дифференциальное уравнение второго порядка.

База

Просто подумайте об этом как о расширении серии Тейлора (что именно так и есть). Независимо от того, насколько большой

\frac{d ξ}{d u}

$\frac{d\xi}{du}$ есть, для достаточно небольшого

ϵ

$\epsilon$ ,

ϵ^{2} ξ \frac{d ξ}{d u}

$\epsilon^2 \xi \frac{d\xi}{du}$ будет порядок

ϵ

$\epsilon$ меньше, чем любой

ϵ ξ

$\epsilon \xi$ или

ϵ \frac{d ξ}{d u}

$\epsilon \frac{d\xi}{du}$ и поэтому ничтожно мало. Помните, что приведенное выше выражение действительно только для первого порядка в

ϵ ξ

$\epsilon \xi$ во-первых (посмотрите определение

\bar{Γ}

$\bar{\Gamma}$ )

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Питер4075

Райан Унгер

Ответы (1)

База

Питер4075

База

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Уравнения геодезических по вариационному принципу

Геодезическое уравнение Эйлера - Лагранжа

Геодезические уравнения

Почему эта метрика не охватывает все пространство де Ситтера?

Сомнения в выводе геодезического уравнения

Решение геодезических на 2-сфере

Когда свет достигает оболочечного наблюдателя в метрике Шварцшильда?

От уравнения Эйлера-Лагранжа к неаффинному геодезическому уравнению