Абстрактное определение сопряженных точек

Позволять С быть гиперповерхностью Коши глобально гиперболического пространства-времени ( М , О , А , г , Т ) с единичным нормальным векторным полем н . Задайте экспоненциальную карту в окрестности U ⊆ р × С из { 0 } × С к опыт ⁡ ( т , п ) "=" с п ( т ) где с п времяподобная геодезическая, проходящая через п с касательным вектором н п . Обычное значение опыт называется сопряженным с С .

У меня возникли проблемы с соотнесением этого определения с интуитивным понятием, где конъюгат указывает на С точки, в которых времениподобные геодезические начинаются в соседних точках С пересекаются. Я уверен, что это связано с какой-то математической теоремой, о которой я не знаю. Может ли кто-нибудь помочь мне понять это?

Определение взято из ссылки? Заголовок? Автор? Страница?
Да Риманова геометрия с приложениями к механике и теории относительности
Это определение в его нынешнем виде ничего не говорит о существовании сходящихся геодезических. Это говорит только о том, что если д сопряжен с С и опыт ⁡ ( т , п ) "=" д , затем опыт является локальным диффеоморфизмом из открытой окрестности этого ( т , п ) в открытый район д . Однако таких пар может быть несколько. ( т , п ) е U для данного сопряженного значения д .
Такие разные пары, если они существуют и, следовательно, в этом случае имеются сходящиеся геодезические, обязательно находятся далеко друг от друга.
Все это является прямым применением теоремы о регулярных величинах .

Ответы (1)

В этом контексте, я считаю, мы должны рассмотреть опыт ⁡ ( т , п ) как семейство карт опыт т : С → М , и примите обычное значение за точку д е опыт т ⁡ ( С ) так, чтобы толчок вперед опыт т * : Т опыт т − 1 ⁡ ( д ) С → Т д М является сюръекцией. Здесь т следует рассматривать просто как параметр, сообщающий нам, с какой картой мы имеем дело. Другими словами, д это обычное значение, которое у нас было бы Т д М "=" опыт т * ⁡ ( Т опыт т − 1 ⁡ ( д ) С ) . С С имеет коразмерность один, это, очевидно, возможно только в том случае, если прообраз опыт т − 1 ⁡ ( д ) содержит более одной точки. По крайней мере, это в некотором смысле восстановило бы интуитивное понятие сопряженных точек и имело бы некоторое сходство со стандартным определением.

Абстрактное определение сопряженных точек
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v