Вектор$\hat \varphi$не определен в начале координат, поскольку преобразование координат

Теорема о том, что

Сингулярность, конечно, возникает из-за бесконечно тонкого провода. Попробуйте найти магнитное поле для проволоки толщиной$R_1$с равномерной плотностью тока и с пределом$R_1 \to 0$при этом общий ток остается постоянным. Скручивание будет равно нулю снаружи провода, но расходиться внутри провода, как диктуют уравнения Максвелла.

Уже есть очень хорошие ответы, поэтому я просто хотел бы дать некоторую физическую интуицию, почему это векторное поле не имеет завихрений, даже если оно имеет ненулевую циркуляцию.

Мы можем провести аналогию ротора с бесконечно малым гребным колесом в потоке жидкости. Мы думаем о векторном поле как о потоке жидкости, а лопастное колесо играет роль ротора. Направление завитка задается осью гребного колеса и правилом правой руки. Величина завихрения связана с угловой скоростью гребного колеса.

Если мы поместим гребное колесо в жидкость, текущую в соответствии с заданным векторным полем, жидкость будет толкать лопасти, как показано на рисунке ниже.

Векторное поле сильное у нижней лопатки (ближе к центру) и слабее у верхней. Конечным результатом этих двух лопастей будет вращение по часовой стрелке. Однако жидкость также толкает левую лопатку вниз, а правую вверх. Это вращение против часовой стрелки точно отменяет вращение по часовой стрелке от верхней и нижней лопастей, и в результате гребное колесо не вращается. Это векторное поле безвихревое, хотя явно имеет ненулевую циркуляцию.

Эта формула действительна вне провода, где$J=0$. Уравнение Максвелла говорит, что$\nabla \times B = 0$там.

Однако не существует скалярного поля, градиент которого равен$B$вокруг провода. Это типичный случай, когда у вас есть безвихревое поле, которое не допускает (глобального) потенциала. В противном случае интеграл от$B$вокруг провода было бы равно нулю, а это не допускается ни одним из законов Максвелла в интегральной форме.

Внутри провода, если$J$равномерный,$I$включает только ту часть тока, которая окружена рассматриваемой линией$B$, так что это зависит от$r$, т.е.$I=I(r)$и формула меняется, производя$\nabla \times B \neq 0$.

1. магнитное поле ОП

   $$\vec{B}~=~\frac{k }{\rho}\hat{\boldsymbol \varphi}, \qquad \rho~\neq~ 0,\tag{1}$$ в цилиндрических координатах $(\rho,\varphi,z)$подчиняется (в смысле распределения ) закону цепи Ампера (ACL): $$\mu_0 \vec{J}~\stackrel{(ACL)}{=}~ \vec{\nabla}\times \vec{B}~\stackrel{(1)}{=}~2\pi k ~\delta^2(x,y)\hat{\bf z},\tag{2}$$ с плотностью тока, заданной двумерным дельта-распределением Дирака . Интегральная форма уравнения (2) приводит к $$\mu_0 I~\stackrel{(2)}{=}~2\pi k.\tag{3}$$

2. Один быстрый способ проверить второе равенство в уравнении. (2) заключается в упорядочении магнитного поля

   $$\vec{B}_{\varepsilon} ~=~\frac{k\rho }{\rho^2+\varepsilon }\hat{\boldsymbol \varphi},\tag{1'}$$ $$\mu_0 \vec{J}_{\varepsilon}~\stackrel{(ACL)}{=}~ \vec{\nabla}\times \vec{B}_{\varepsilon}~\stackrel{(1')}{=}~\frac{2k\varepsilon }{(\rho^2+\varepsilon)^2}\hat{\bf z},\tag{2'}$$ $$\mu_0 I_{\varepsilon}~\stackrel{(2')}{=}~\int_0^{\infty} 2\pi \rho~\mathrm{d}\rho ~\frac{2k\varepsilon }{(\rho^2+\varepsilon)^2} ~=~2\pi k,\tag{3'}$$ с регулятором$\varepsilon>0$, и возьмем предел$\varepsilon\to 0^+$. Строгое доказательство распределения использует тестовые функции, подобные, например, моему ответу Phys.SE здесь .