Головоломка о теореме о расходимости

Что-то меня озадачивает в теореме о дивергенции. Обычно теорему о расходимости записывают как

$$\begin{equation} \int_\mathcal{M} d^4x \sqrt{-g} \nabla_\mu v^\mu=\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu v^\mu \tag{3.22} \end{equation}$$ для некоторого векторного поля$v^\mu$, где$d\Sigma^\mu$– направленный элемент поверхности. См., например, уравнение$(3.22)$в «Инструментарии релятивиста» Эрика Пуассона. Я подумывал о том, чтобы превратить лагранжиан Максвелла в граничный член, предполагая, что я нахожусь на раковине. Для этого у нас есть $$\begin{equation} \begin{split} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}&=2\int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g}F^{\mu \nu}\nabla_\mu A_\nu\\ &=2\int_\mathcal{M}d^4x\sqrt{-g}\nabla_\mu \left(F^{\mu \nu}A_\nu \right)\\ &-2\int_\mathcal{M}d^4x\sqrt{-g} \nabla_\mu F^{\mu \nu}A_{\nu} \, \end{split} \end{equation}$$ где я просто использовал симметрию символов Кристоффеля и антисимметрию тензора Фарадея. Теперь, используя уравнение движения $$\begin{equation} \nabla_\mu F^{\mu \nu}=0 \end{equation}$$ и теорему о расходимости, я должен быть в состоянии написать $$\begin{equation}\label{puzzle} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}=2\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu F^{\mu \nu} A_\nu\,. \end{equation}$$ Теперь мы можем рассмотреть магнитное решение, заданное формулой $$\begin{equation} A=Q(1-\cos{\theta}) d\phi \end{equation}$$ $$\begin{equation} F=dA=Q\sin{\theta} d\theta \wedge d\phi\,. \end{equation}$$

Учитывая это решение, мы имеем

$$\begin{equation} F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}=2\frac{Q^2}{r^4}\, \end{equation}$$ предполагая метрику вида $$\begin{equation} ds^2=-f(r)dt^2+\frac{1}{f(r)}dr^2+r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)\,. \end{equation}$$ На самом деле я имею дело с черными дырами Рейснера-Нордстрема с магнитным зарядом, но я думаю, что мое замешательство имеет более общее значение. Меня смущает то, что если я возьму какую-то границу постоянной$r$, или просто некоторая граница, нормаль которой выглядит как $$\begin{equation} n_{\mu}=\alpha dt + \beta dr\,, \end{equation}$$ затем правая сторона $$\begin{equation} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}=2\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu F^{\mu \nu} A_\nu\,. \end{equation}$$ кажется, тривиально дает ноль, потому что$F$имеет только угловые компоненты. Однако я думаю, что очень легко придумать область пространства-времени.$\mathcal{M}$такое, что левая часть не обращается в нуль. Что я сделал не так в этом рассуждении? Я думал, что это может быть связано с гладкостью векторного поля.$v^{\mu}=F^{\mu \nu}A_{\nu}$в котором мы применяем теорему Стокса, но поскольку я видел изложенную выше теорему о дивергенции без каких-либо предположений о векторном поле, я не уверен, что проблема в этом. Векторное поле дает $$\begin{equation} v=\frac{Q^2}{r^4 \sin{\theta}}(1-\cos{\theta})\frac{\partial}{\partial \theta}\,, \end{equation}$$ Это можно увидеть$v$имеет сингулярность в$\theta=\pi$. Это может быть артефакт координат, но легко увидеть, что$g_{\mu \nu}v^\mu v^\nu$также имеет эту особую точку. По этой причине я думаю, что может быть проблематично применить теорему о расходимости к$v$. Я правильно понял проблему?

EDIT1: я рассматриваю регион$\mathcal{M}$пространства-времени, не содержащего начала. Поскольку я думаю об этом в контексте черной дыры, я не хочу включать сингулярность$r=0$в патче, поверх которого я интегрируюсь. В качестве примера этой процедуры см. уравнение$(5.15)$https://arxiv.org/abs/1606.08307 , где предполагается электрическое решение. Теперь, если мы примем электрическое решение, мы получим

$$\begin{equation} A=\left(\frac{Q}{r_{+}}-\frac{Q}{r} \right)dt \end{equation}$$ $$\begin{equation} F=dA=\frac{Q^2}{r^2}dr \wedge dt \end{equation}$$ где$r_{+}$является горизонтом событий. Следовательно $$\begin{equation} F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}=-2\frac{Q^2}{r^4}\,, \end{equation}$$ что означает массовую интеграцию на$\mathcal{M}$просто меняется на знак относительно магнитного решения. Это связано с электромагнитной двойственностью. Однако в этом случае использование теоремы Стокса приводит к ненулевому граничному вкладу, как, я думаю, и должно быть. Теперь моя загадка заключается в том, почему в одном случае мы можем использовать Стокса, а в другом, кажется, нет. Оказывается, в этом случае векторное поле, в котором мы применяем Стокса, равно $$\begin{equation} v=\frac{Q}{r^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{+}} \right) \frac{\partial}{\partial r} \end{equation}$$ который кажется гладким везде, если мы посмотрим на$g(v,v)$, используя хорошую систему координат.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Согласно «Введению в гладкие многообразия» Джона М. Ли, векторное поле должно быть гладким. Но если это так, то когда мы используем вариационный принцип для вывода уравнений Максвелла, мы предполагаем, что$F^{\mu \nu}\delta A_\nu$является гладким, чтобы превратить его в граничный член, который равен нулю. Конечно тут мы не в ладах, но мне все же кажется странным, что$F^{\mu \nu}A_\mu$оказывается негладким для чисто магнитного решения. Есть ли у вас какие-либо идеи?