Почему этот линейный интеграл дает неправильный знак?

Question

Почему этот линейный интеграл дает неправильный знак?

лампалампа

Я пытался найти ошибку в этом подходе к расчету работы однородного гравитационного поля над объектом, падающим на землю в $-y$ направление.

\begin{aligned} Вт & "=" \int_{я}^{ф} \vec{Ф} \cdot г \vec{с} \\ "=" - м г \int_{я}^{ф} \hat{у} \cdot г \vec{с} \end{aligned}

$\begin{align} W &= \int_{i}^{f} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s} \\ &= -mg \int_{i}^{f} \hat{y} \cdot \mathrm{d}\vec{s} \end{align}$ Поскольку объект движется вниз,

d \vec{s} = - d \vec{y}

$\mathrm{d}\vec{s} = -\mathrm{d}\vec{y}$

\begin{aligned} "=" - м г \int_{я}^{ф} \hat{у} \cdot - г \vec{у} \\ "=" м г \int_{я}^{ф} \hat{у} \cdot г \vec{у} \end{aligned}

$\begin{align} &= -mg \int_{i}^{f} \hat{y} \cdot -\mathrm{d}\vec{y} \\ &= mg \int_{i}^{f} \hat{y} \cdot \mathrm{d}\vec{y} \end{align}$ Потому что

\hat{y}

$\hat{y}$ параллельно

d \vec{y}

$\mathrm{d}\vec{y}$ , то векторное скалярное произведение равно

d y

$\mathrm{d}y$

\begin{aligned} "=" м г \int_{я}^{ф} г у \\ "=" м г ({час}_{ф} - {час}_{я}) \end{aligned}

$\begin{align} &= mg \int_{i}^{f} \mathrm{d}y \\ &= mg (h_f -h_i) \end{align}$ который меньше нуля, когда

h_{f} < h_{i}

$h_f < h_i$ , а значит, явно неправильно. Тем не менее, упрощенный подход

W = F D

$W = FD$ , с двумя параллельными векторами, и ясно, что работа действительно положительна.

Может ли кто-нибудь указать, с какой аксиомой математики или физики противоречит моя математика? Мой инстинкт подсказывает, что когда-то скаляр $\mathrm{d}y$ получен, интеграл «преобразуется» в новую систему координат, где движение понимается как положительное, а не отрицательное, как интеграл установлен.

Это распространенная ошибка? Является ли урок, что при выполнении скалярного произведения внутри интеграла знак интеграла должен проверяться аналитически? Или есть более простая аксиома, которую мне не хватает? Я мог бы легко представить себя, если бы я писал код, пытаясь следовать алгебре, не думая слишком аналитически, и, таким образом, получая неправильный ответ. Я изучал линейную алгебру бакалавриата, векторное исчисление и промежуточную механику, но я не помню, чтобы когда-либо возникал этот вопрос.

Ответы (4)

Почему этот линейный интеграл дает неправильный знак?

Фарчер · Answer 1

Поскольку объект движется вниз, $\mathrm{d}\vec{s} = -\mathrm{d}\vec{y}$

является источником вашей ошибки.

Забыв об интегрировании и используя идею о том, что гравитационная потенциальная энергия $mgh$ посмотрите, что происходит, когда тело перемещается с начальной высоты $h_{\rm i}$ до конечной высоты $h_{\rm f}$ .

Изменение потенциальной энергии гравитации равно $mg(h_{\rm f} - h_{\rm i})$

Вернитесь на один этап назад и запишите эквивалентное векторное уравнение в виде

м (- \vec{г}) \cdot ({\vec{час}}_{ф} - {\vec{час}}_{я}) "=" м (- г \hat{у}) \cdot ({час}_{ф} - {час}_{я}) \hat{у}

$m(-\vec g)\cdot (\vec h_{\rm f} - \vec h_{\rm i}) = m(-g \,\hat y)\cdot (h_{\rm f} - h_{\rm i})\,\hat y$

Вернитесь еще на один этап, а затем еще на один, где $\Delta y = h_{\rm f} -h_{\rm i}$

"=" м (- г \hat{у}) \cdot Δ у \hat{у} "=" м (- г \hat{у}) \cdot Δ \vec{у}

$=m(-g \,\hat y)\cdot \Delta y\,\hat y=m(-g \,\hat y)\cdot \Delta \vec y$

и в интегральной форме это становится $\displaystyle \int^{h_{\rm f}}_{h_{\rm i}}m(-g \,\hat y)\cdot d \vec y$

Заметим, что во всем вышеприведенном анализе не упоминаются значения компонент перемещений $h_{\rm i}\,\hat y$ и $h_{\rm f}\,\hat y$ .

Когда ты написал $\mathrm{d}\vec{s} = -\mathrm{d}\vec{y}$ Вы действительно имели в виду, что смещение было $\Delta\vec{s} = -\Delta\vec{y} = h_{\rm i}\,\hat y-h_{\rm f}\,\hat y$ ?
Думаю, нет?

Таким образом, вы должны понимать, что знак приращения $ds$ полностью диктуется пределами интегрирования, и не следует предвосхищать знак $ds$ .

еранреш · Answer 2

Ваша проблема в том, что вы установили $\vec{{\rm d}s}=-\vec{{\rm d}y}$ . Неважно, какой у тебя путь, $\vec{{\rm d}s}$ всегда

\vec{г с} "=" г Икс \hat{Икс} + г у \hat{у} + г г \hat{г}

$\vec{{\rm d}s}={\rm d}x\hat{x}+{\rm d}y\hat{y}+{\rm d}z\hat{z}$

Эвристически признак _ ${\rm d}y$ определяется пределами интегрирования. Итак, когда вы интегрируете $y_{\rm i}\rightarrow y_{\rm f}$ с $y_{\rm i}>y_{\rm f}$ у вас есть ${\rm d}y<0$ .

маршировать · Answer 3

Чтобы понять это правильно, я всегда возвращаюсь к правильному определению линейного интеграла. Чтобы вычислить работу по некоторому пути, мы сначала параметризуем путь как $\vec{s}(t)$ где $t$ идет от $t_i$ к $t_f$ . Затем оцениваем силу на этом пути $\vec{F}(\vec{s}(t))$ и поставить точку в $d\vec{s}$ и интегрировать следующим образом:

Вт "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} \vec{Ф} (\vec{с} (т)) \cdot \frac{г \vec{с} (т)}{г т} г т .

$W = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(\vec{s}(t))\cdot \frac{d\vec{s}(t)}{dt}~dt.$ В вашем случае одним из способов параметризации кривой является

\vec{с} (т) "=" ((1 - т) у_{я} + т у_{ф}) \hat{у},

$\vec{s}(t) = ((1-t)y_i+ty_f)\hat{y},$ где

t

$t$ находится между 0 и 1, и в этом случае

\frac{г \vec{с} (т)}{г т} "=" (у_{ф} - у_{я}) \hat{у},

$\frac{d\vec{s}(t)}{dt} = (y_f-y_i)\hat{y},$ и, конечно, сила просто постоянна

\vec{F} (\vec{s} (t)) = - m g \hat{y}

$\vec{F}(\vec{s}(t)) = -mg\hat{y}$ .

Таким образом,

\begin{aligned} Вт & "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} \vec{Ф} (\vec{с} (т)) \cdot \frac{г \vec{с} (т)}{г т} г т \\ "=" \int_{0}^{1} (- м г \hat{у}) \cdot (у_{ф} - у_{я}) \hat{у} г т \\ "=" - м г (у_{ф} - у_{я}) \int_{0}^{1} г т \\ "=" - м г (у_{ф} - у_{я}), \end{aligned}

$\begin{align*} W &= \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(\vec{s}(t))\cdot \frac{d\vec{s}(t)}{dt}~dt\\ &= \int_{0}^{1} (-mg\hat{y})\cdot (y_f-y_i)\hat{y}~dt\\ &= -mg(y_f-y_i)\int_{0}^{1}dt\\ &=-mg(y_f-y_i), \end{align*}$ что, конечно, правильный ответ!

Дело в том, что при выборе $d\vec{s}$ и набор пределов, вы неявно выбираете параметризацию своей кривой, и вы должны быть последовательны в выборе функции и выборе пределов. То есть, исходя из ваших ограничений, похоже, что вы выбираете параметризацию, в которой вертикальная позиция является параметром:

\vec{с} (у) "=" у \hat{у},

$\vec{s}(y) = y\hat{y},$ где

y

$y$ идет от

y_{i}

$y_i$ к

y_{f}

$y_f$ . Затем

г \vec{с} "=" \frac{г \vec{с}}{г у} г у "=" \hat{у} г у,

$d\vec{s} = \frac{d\vec{s}}{dy}dy = \hat{y}dy,$ и вы можете видеть, что вы заставляете выбирать положительный знак, а не отрицательный.

Ответ Фарчера дает хорошую физически интуитивную картину того, почему вы вынуждены это делать. Мне нравится возвращаться к правильному математическому определению, потому что при стирке появляются правильные отрицательные знаки.

криомаксим · Answer 4

После того, как вы установили $d \vec {s} = - d \vec {y}$ , вы забыли изменить пределы интеграции. Пусть $\vec{s}$ в диапазоне от начальной до конечной точек, скажем $s_1, s_2, \dots, s_N$ , то нижний предел равен $s_1$ и верхний предел $s_N$ . Теперь, согласно вашему соглашению $\vec{y} = - \vec{s}$ , значения, которые $\vec{y}$ будут иметь $-s_1,-s_2, \dots, -s_N$ и, таким образом, вы должны изменить (при интегрировании по y) пределы от $-s_1$ к $-s_N$ . Вычисляя интеграл для гравитационного поля, вы получите член, пропорциональный

$- \vec{s_N} - (- \vec{s_1}) = \vec{s_1}-\vec{s_N}$

вместо

$\vec s_N - \vec s_1$ (когда забыто преобразование пределов интегрирования).

Границы интеграции должны быть изменены после любых преобразований координат!

Я думал об этом, но пределы интегрирования представлены абстрактно, как от «начального» до «конечного», и, учитывая это абстрактное представление, нет необходимости менять их местами, чтобы перейти от конечного к начальному. Я имею в виду, чтобы быть немного более точным с обозначениями, вопрос имеет что-то вроде $\int_{s_i}^{s_f} (\cdots)\mathrm{d}s \to \int_{y_i}^{y_f} (\cdots)\mathrm{d}y$ .
Даже если есть абстрактные пределы, они меняются, когда вы меняете знак
Я так не думаю... когда вы меняете переменные, если вы интегрируете от начального до конечного значения исходной переменной, вы интегрируете от начального до конечного значения новой переменной без какого-либо дополнительного изменения знака независимо от что такое замена переменных. Например, определение $z = -y$ , $y_i = 0$ и $y_f = 1$ , у нас есть $\int_{y_i}^{y_f} \mathrm{d}y = y_f - y_i = 1$ и $\int_{y_i}^{y_f} \mathrm{d}y = \int_{z_i}^{z_f} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \mathrm{d}z = \int_{z_i}^{z_f} (-1) \mathrm{d}z = (-1)(z_f - z_i) = -(-1 - 0) = 1$ .
@DavidZ Я думаю, что kyromaxim говорит то, что вы говорите. Вы делаете пределы отрицательными. Я не думаю, что они говорят поменять местами начальный с окончательным и наоборот.

Почему этот линейный интеграл дает неправильный знак?

лампалампа

Ответы (4)

Фарчер

еранреш

маршировать

криомаксим

Дэвид З.

криомаксим

Дэвид З.

Биофизик

В чем физический смысл работы?

Отображается ли результирующая сила условно на диаграмме свободного тела?

Другое условие расчета работы

Можно ли построить тензор работы по силе и перемещению?

При написании дифференциального уравнения, когда вы берете +dx+dx+\text{d}x, а когда -dx-dx-\text{d}x?

Сила гравитации равна Fg=+mgFg=+mgF_g=+mg или Fg=-mgFg=-mgF_g=-mg?

1-й закон термодинамики, 3-й закон Ньютона и теорема о работе-энергии

Что именно делает силу консервативной?

Использование системы шкивов в качестве шкалы/индикатора засушливости растений

Связь между потенциальной энергией и консервативной силой