В чем физический смысл работы?

Ваше уравнение не совсем правильное - то, что вы описали, дает дифференциальную работу$dW$. Работа, совершенная над частицей, определяется линейным интегралом:

где$C$это путь, который проходит частица,$\vec{F}$- сила, действующая на частицу (которая может быть функцией положения), и$d\vec{s}$дифференциальный элемент линии вдоль пути.

Вы правы в том, что скалярное произведение представляет собой проекцию одного вектора на другой. Интуитивно этот интеграл является математическим эквивалентом высказывания «в каждой точке пути подсчитайте, насколько векторное поле$\vec{F}$способствует движению частицы, находя проекцию силы на фактическую траекторию, и сложите все это».

Да, скалярное произведение $\vec a\cdot \vec b$математически символизирует проекцию одного вектора на другой. Другими словами: скалярное произведение умножает параллельные компоненты:

Перекрестный продукт $\vec a\times \vec b$несколько наоборот. (Длина) перекрестного произведения - это произведение перпендикулярных компонентов.

Вы часто будете видеть их математически в следующих формах:

Последняя версия в каждой строке удобна, так как косинус учитывает параллельные компоненты и игнорирует перпендикулярные, а синус — наоборот.$\theta$угол между двумя векторами.

Да, это всего лишь математические изобретения. Больше ничего. И они оказываются очень полезными при описании многих физических явлений, потому что многие вещи в физике происходят только между параллельными или перпендикулярными компонентами.

Например:

• Чтобы затянуть винт с помощью гаечного ключа, вы тяните перпендикулярно - параллельное натяжение ключа не заставит его повернуться (он просто отсоединится). Следовательно, момент определяется перекрестным произведением:$\vec \tau = \vec F \times \vec r$.
• Работа — это энергия, добавляемая при толкании чего-либо, т.е. если вы толкаете сбоку игрушечный поезд, движущийся по его рельсам, то вы не добавляете энергии к его движению. Он не двигается вбок (гусеница удерживает его на месте), и ваши усилия были бесполезны. Только если вы толкаете вместе с движением, вы добавите энергии и ускорите его. Поэтому работа определяется как скалярный продукт$W=\vec F\cdot \vec s$.

В примере с игрушечным поездом, если вы толкаете против движения, вы забираете энергию из поезда и замедляете его. Вы делаете работу, но эта работа негативна.

Как видите, все параллельные силы работают (отрицательны, если антипараллельны), а все боковые силы вообще ничего не делают. Если вы толкаете под углом, то влияет только параллельная составляющая вашей силы. Все это входит в математическое косинусное выражение скалярного произведения$W=Fs\;\cos(\theta)$, потому что косинус равен нулю, когда угол$90^\circ$.