Почему классический радиус электрона, боровский радиус и комптоновская длина волны электрона связаны друг с другом?

Неудивительно, что оба$r_e$и$a_0$кратны комптоновской длине волны: любые две положительные длины кратны друг другу. Хотя это правда, что это нечто большее, чем это простое утверждение, существенный факт заключается в том, что, поскольку эти три длины составлены просто и из одних и тех же основных ингредиентов, у них очень мало свободы действий в том, как они могут отличаться.

Давайте посмотрим на эти количества:

Обратите внимание, что все они обратно пропорциональны массе покоя электрона, хотя и по разным причинам: для отклонения более тяжелых электронов потребуются более мощные фотоны; у них более высокая масса покоя, и для соответствия им потребуется более компактный сферический заряд; и выше$m$эффективно уменьшает$\hbar$в водородном уравнении Шредингера, что затрудняет переход к квантовому режиму.

Учитывая это, у вас есть три длины, которые определяются тремя константами$\hbar$,$c$и$e$. Этого достаточно, чтобы получить три разные длины, но их достаточно мало, чтобы любое частное было функцией уникальной безразмерной комбинации этих констант - постоянной тонкой структуры,

Однако эта константа особенно важна. Это естественная мера силы электромагнитных взаимодействий: она дает в чистом виде электромагнитную связь$e^2$между двумя единичными зарядами в естественно-релятивистских единицах, где$\hbar=c=1$. Таким образом, хотя отношения, о которых вы говорите, алгебраически необходимы, это не означает, что они лишены физического содержания:

• $r_e=\alpha \lambda_C/2\pi$говорит, что для более сильно взаимодействующей КЭД более слабо связанного сферического электрона было бы достаточно, чтобы соответствовать энергии массы покоя.
• $a_0=\frac 1\alpha \lambda_C/2\pi$говорит, что для более сильно взаимодействующей КЭД протон будет удерживать свой водородный электрон на более тесных орбитах.

Оба они действительно наиболее естественным образом выражены в терминах длины волны Комптона, поскольку это характерная квантово-релятивистская шкала длины электрона и не зависит от какого-либо конкретного физического взаимодействия, тогда как два других зависят и, следовательно, получены из первый через силу этого взаимодействия.

Все три длины, которые вы рассматриваете, построены с использованием только$e$,$m_e$и фундаментальные константы. Если вы посмотрите на определения, то заметите, что все они имеют вид$\frac{something}{m_e}$.

Тогда ясно, что вы можете получить одну длину из других, просто умножив их на некоторый коэффициент$e$и фундаментальные константы; поскольку все величины являются длинами, множитель должен быть безразмерным: он должен быть степенью$\alpha$, умноженное на некоторое число.

The $2\pi$факторы исходят из того, что$\lambda_C$включает в себя$h$и др$\hbar$.

Почему$r_e = α \frac{λ}{2π} = α^2 a_0 = \frac{α^3}{4πR_∞}$? Не требуется обращения к нумерологии или «естественности».

0) Определения

Во-первых, переключитесь на «уменьшенную» или «угловую» длину волны Комптона :

Точно так же определите «приведенную» длину волны Ридберга , как$R_∞$имеет размерность линейного волнового числа :

Теперь равенство звучит так:

Наконец, вспомним постоянную тонкой структуры $α$определяется как отношение

1. расстояние между любыми двумя единичными зарядами до

2. уменьшенная длина волны фотона, энергия которого равна потенциальной энергии заряда

1)$r_e$против$ƛ_e$

• Классический радиус электрона $r_e$расстояние между двумя единичными зарядами , при котором их потенциальная энергия равна энергии покоя электрона ,$V(r_e)=m_e c^2$.

• Уменьшенная длина волны Комптона электрона $ƛ_e$- приведенная длина волны фотона, равная энергии покоя электрона ,$ℏc/ƛ_e=m_e c^2$.

Так$V(r_e) = ℏc/ƛ_e$. Их соотношение определяется как

2)$a_0$против$ƛ_∞$

• Энергия Ридберга равна половине потенциальной энергии двух единичных зарядов, разделенных одним боровским радиусом. $a_0$. (Только половина, потому что$hcR_∞$была определена как энергия ионизации, которая согласно теореме вириала составляет половину потенциала.)

Так$V(a_0)=2ℏc/ƛ_∞$. Их соотношение определяется как

3)$ƛ_e$против$a_0$

Не так ясно.$ƛ_e$не соответствует ни одному известному разделению зарядов, для которого$a_0$может быть уменьшенной длиной волны фотона. Модель Бора выводит$a_0$по счастливой случайности ненадежными методами, но не предлагает здесь никакой помощи. Вместо этого используйте QM. Уравнение Гриффита (4.53) дает радиальное уравнение Шредингера для водорода:

Во-первых, приведите в порядок, выразив полную (отрицательную) энергию как угловое волновое число $κ=ƛ^{-1}$свободного электрона ( 4.54),

переходят в электронные единицы ($r = \hat{r} ƛ_e$,$κ = \hat{κ} / ƛ_e$,$u(r) = u(ƛ_e \hat{r})$),

и собирая члены для массы-энергии электрона ($E_e = m_e c^2 = ℏ c / ƛ_e$),

Теперь установите$l=0$и применим теорему вириала (4.190, 4.191,$2⟨T⟩=⟨\vec r · \vec ∇ V⟩=⟨-V⟩=-2 E$) получить

затем вычесть кинетический член, разделить на$-E_e$, перейдем от волнового числа к длине волны (для наглядности) и без потери обобщения пусть$⟨\frac{1}{\hat r}⟩ = \frac{1}{\hat r}$,

В принципе они могут принимать любые значения, но решение (4.68) требует, чтобы$ƛ=\hat r$в низшем собственном состоянии. Таким образом$\hat r = 1/α$(в целом$ƛ=n/Zα$,$r=n^2/Z^2α$).

Относительно комптоновской длины волны$\lambda_c$и классический радиус электрона$r_e$, вы можете синтезировать таким образом:

Второе равенство представляет собой энергию электрона, соответствующую потенциальной энергии, которую он испытал бы в классическом электрическом потенциале точечного заряда (например, другого электрона). Это дает классический радиус электрона, который я бы интерпретировал как типичный диапазон электрон-электронного взаимодействия.

Таким образом, отношения между$\lambda_c$и$r_e$является$\alpha$потому что это мера силы электростатического взаимодействия.

Теперь я не уверен насчет радиуса Бора. Это не так прямолинейно, потому что включает квантование углового момента.

Постоянная тонкой структуры не случайно получила свое название. Он представляет собой размер природного строительного блока для «структуры материи». Подобно тому, как мы используем грамм в одной небольшой работе, килограмм — в другой, тогда как для третьей нужна тонна и так далее, то же самое происходит и в субатомном мире. Радиус Бора представляет собой атом, и он примерно в 137 раз превышает размер комптоновского радиуса, который возникает при рассмотрении магнитных свойств электрона вместе со скоростью вращения в атоме, а это, в свою очередь, в 137 раз больше, чем классический радиус. что связано с зарядом и энергией электрона. Для сторонников квантовой механики радиус Бора — это когда начинаются квантовые эффекты, радиус Комптона - это когда волновое поведение электрона становится очевидным, в то время как классический радиус - это когда необходима перенормировка, то есть когда вы достигаете края и точки, где интегралы энергии начинают расходиться. Чтобы получить классический радиус электрона re = e^2/4πε0 mc^2, где e,m — заряд и масса электрона, возьмем один электрон покоящимся в лаборатории, а другой на бесконечности с максимальной скоростью c (или очень близкой к к нему). Электрон теряет все свое движение / кинетическую энергию из-за отталкивания, когда он достигает статического электрона, поэтому этот радиус представляет собой наименьшее расстояние, на котором могут сойтись любые два электрона, поскольку c является пределом скорости. Для комптоновского радиуса (комптоновская длина волны/2π) rc=h/2πmc, рассмотрим два фотона и электрон в паре или, альтернативно, рассмотрим магнитный момент, полученный из-за вращения заряда, создающего магнитный диполь электрона. Для боровского радиуса rb = h^2 ε0 /π me^2; примем центробежную силу равной статической электрической силе притяжения в атоме. Отношение любых двух из приведенных выше чисел есть постоянная тонкой структуры α=e^2/ε0 hc; и что примечательно, это число безразмерно, а три электронных радиуса получаются в независимых процессах, и что это отношение точно!.. т. е. не зависит от экспериментальных значений.