Почему (ко)гомология полезна и каким образом?

Этот вопрос чрезвычайно широк, и на тему «почему когомологии полезны» было пролито много чернил (см., например, здесь , здесь , здесь , здесь , здесь , здесь , здесь или здесь , все из первая страница результатов Google именно для этого поиска).

Тем не менее, я могу ответить на ваш вопрос о том, всегда ли он должен использоваться так, как вы обрисовываете (обнаружение отсутствия топологических признаков путем демонстрации отсутствия алгебраических признаков): Нет. Существует множество других применений, которые не следуют этому плану.

Один из современных взглядов на когомологию состоит в том, что она свидетельствует о препятствиях на пути решения некоторого уравнения.

Это проще всего увидеть в когомологиях Де Рама , где мы хотим решить дифференциальное уравнение$df = g$. Получается, что локально мы всегда можем решить это уравнение, но глобально, возможно, не сможем. «Препятствие» к решению этого уравнения также является топологическим! Если наше пространство просто связано , то мы всегда можем его решить. Действительно, мы всегда можем интегрировать функцию, определенную на$\mathbb{C}$, сказать. Но есть хорошие функции, определенные в проколотой плоскости, которые не имеют глобальной первообразной. Известный пример$\frac{1}{z}$.

Нас также может заинтересовать решение уравнения$f^2 = g$. Опять же, мы знаем, как сделать это локально, но может не быть способа решить это сразу на всей комплексной плоскости. Также снова мы обнаруживаем, что препятствие к решению этого уравнения является когомологическим.

В качестве более алгебраического примера предположим, что вы хотите решить$x^n = y$в какой-то области$k$. Тогда мы знаем, как решить это уравнение в некотором алгебраическом замыкании.$\overline{k}$, и мы знаем, что решение этого уравнения в$\overline{k}$на самом деле существует в$k$тогда и только тогда, когда это решение фиксируется действием группы Галуа $G$. Итак, нас интересуют когомологии$G$.

---

Конкретнее, как это работает? Хорошо, если у нас есть сопоставление между некоторыми объектами (в приведенных выше примерах сопоставления были$d$,$(-)^2$, и$(-)^n$соответственно) мы можем «решить» уравнение именно тогда, когда понимаем образ отображения .

Например, мы можем решить$df = g$именно когда$g$находится в образе$d$, или$f^2 = g$в любое время$g$находится в образе$(-)^2$, и т. д.

Ключевая идея состоит в том, чтобы использовать точные последовательности , чтобы превратить вопрос о том, чтобы быть в образе (что сложно), в вопрос о том, чтобы быть в ядре ( что сравнительно легко). Теории когомологий (и более общие производные функторы ) дают нам доступ к длинным точным последовательностям, которые мы можем использовать, чтобы проверить, является ли уравнение (глобально) разрешимым.

Например, пусть$\mathcal{F}^\times$— пучок ненулевых голоморфных функций на$\mathbb{C}$под умножением. Тогда у нас есть короткая точная последовательность

$$0 \to \{ \pm 1 \} \to \mathcal{F}^\times \overset{(-)^2}{\to} \mathcal{F}^\times \to 0$$

Теперь наша функция$g$является частью$\mathcal{F}^\times$, и мы хотим знать, является ли это изображением части$\mathcal{F}^\times$под$(-)^2$. То есть, если мы сможем найти$f$с$f^2 = g$.

Итак, мы применяем когомологии пучков к этой точной последовательности, чтобы получить (длинную) точную последовательность

$$0 \to H^0(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \overset{(-)^2}{\to} H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \to H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to \cdots$$

Здесь$H^0$связки - это ровно глобальные секции. Так$g$живет во второй копии$H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times)$. Мы хотим знать, лежит ли он в образе первой копии, и мы можем сделать это, проверив, лежит ли он в ядре карты до$H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \})$. Одна из волшебных особенностей когомологий заключается в том, что в особых случаях мы часто можем вычислить эти группы когомологий и отображения между ними! Таким образом, мы можем использовать этот механизм, чтобы проверить, существует ли решение.

---

Надеюсь, это поможет ^_^