Почему когерентные состояния имеют распределение числа Пуассона?

Укороченная версия

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\Ket}[1]{\left| #1 \right>} %$Потому что вы можете использовать светоделители, чтобы разделить когерентное состояние на тензорное произведение многих независимых когерентных состояний с низким числом фотонов.

Более длинная версия

Если вы отправите$\ket{\alpha}$на светоделитель с коэффициентом передачи$t$и коэффициент отражения$r$(с$|r|^2+|t|^2=1$), вы получаете произведение двух независимых когерентных состояний$\ket{t\alpha}\otimes\ket{r\alpha}$. Это свойство характеризует когерентные состояния, поскольку любое другое входное состояние приводит к запутыванию на выходе светоделителя.

Поскольку состояние выхода является состоянием продукта, статистика любого измерения, выполненного на одном выходе, не зависит от статистики измерения, выполненного на другом выходе. Кроме того, поскольку светоделитель является пассивным компонентом, общее число фотонов входного состояния$\ket{\alpha}$есть сумма количества фотонов на выходах.

Теперь вы также можете добавить светоделители на выходы и построить дерево светоделителей, с$N\gg|\alpha|^2$сбалансированные выходы, преобразующие входное когерентное состояние$\ket{α}$в продукт$N$когерентные состояния$\Ket{\tfrac{\alpha}{\sqrt{N}}}^{\otimes N}$. Как и прежде, общее количество фотонов сохраняется, поэтому статистика количества фотонов$\ket α$это сумма$N$независимые выходы, каждый из которых имеет небольшое среднее число фотонов$\tfrac{|\alpha|^2}{N}$. Когда$N \to \infty$, единственным распределением, обладающим этим свойством, является распределение Пуассона. КЭД.

Связь с независимостью от последовательного события обнаружения

Обратите внимание, что в приведенных выше рассуждениях светоделители не обязательно должны быть реальными лучами, разделяющими объекты. Все, что меняет основу пространственно-временных модусов, работает. В частности, пусть ваше когерентное состояние будет в режиме, соответствующем импульсу света. Вы также можете «нарезать» пульс на$N$короткие отрезки времени. Это описание точно эквивалентно приведенному выше светоделителю и соответствует интуиции, сформулированной @AccidentalFourierTransform и @ThomasS выше о независимости последовательных событий обнаружения фотонов.

Во всех приведенных выше описаниях я неявно предполагал, что другой порт каждого светоделителя пуст, то есть получает вакуумное состояние.$\ket0$. Это ключевое допущение по-прежнему присутствует выше, когда я «разрезаю» когерентное состояние на множество временных интервалов, начальный$N-1$вакуум находится в режимах пространства-времени, которые ортогональны исходному световому импульсу.

Хотя принятый ответ уже хорошо отвечает на вопрос, я считаю, что было бы неплохо увидеть более подробно, как именно мы получаем коэффициенты (и, следовательно, статистику Пуассона) когерентного состояния.$\lvert\alpha\rangle$из единственного требования, чтобы после унитарной эволюции$\mathcal U$, выходное состояние$\mathcal U\lvert\alpha\rangle$факторизуется по различным режимам:

$$\mathcal U\lvert\alpha\rangle=\bigotimes_k\lvert\psi_k\rangle.$$ Рассмотрим общее начальное одномодовое состояние$\lvert\psi\rangle$, с коэффициентами $$\lvert\psi\rangle=\sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{\sqrt{k!}}\lvert k\rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{k!}a^{\dagger k}\lvert 0\rangle.$$ Обратите внимание, что выбор$c_k/\sqrt{k!}$как коэффициенты (вместо более простого$c_k$) чисто условно (но потом получится облегчить вычисления). Рассмотрим унитарную эволюцию, которая разделяет состояние на два разных режима следующим образом. $$a^\dagger\to r a_1^\dagger + t a_2^\dagger.$$ Мы могли бы рассмотреть более общий случай расщепления на$N>2$режимы, но это окажется не нужным.

После этой унитарной эволюции государство$\lvert\psi\rangle$эволюционирует в:

$$\lvert\psi\rangle\to\sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{k!}(ra_1^\dagger+ta_2^\dagger)^k\lvert0\rangle = \sum_{k=0}^\infty c_k\sum_{l=0}^k\frac{(ra_1^\dagger)^l}{l!}\frac{(ta_2^\dagger)^{k-l}}{(k-l)!}\lvert0\rangle,\tag1$$ где мы использовали биномиальную формулу для расширения$k$-я степень суммы двух слагаемых. Спросим теперь, какие члены этой суммы содержат$n$-я степень$a_1^\dagger$. Ответ очевиден $$\frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!}\sum_{k=n}^\infty c_k\frac{(ta_2^\dagger)^{k-n}}{(k-n)!}=\frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!}\sum_{m=0}^\infty c_{m+n}\frac{(ta_2^\dagger)^m}{m!}.$$ Другими словами, если мы переставим члены (1) так, чтобы коэффициенты при степенях$a_1^\dagger$явно, мы можем переписать конечное состояние следующим образом ( 1 ) $$\lvert\psi\rangle\to\mathcal U\lvert\psi\rangle= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!} \sum_{m=0}^\infty c_{n+m}\frac{(ta_2^\dagger)^m}{m!}\lvert0\rangle.$$ Примечательно, что это говорит нам о том, что выходное состояние$\mathcal U\lvert\psi\rangle$сепарабельно тогда и только тогда , когда коэффициенты удовлетворяют$c_{n+m}=c_n c_m$, то есть если$c_n=\alpha^n$для некоторых$\alpha\in\mathbb C$. В качестве бонуса мы видим, что в этом случае выходное состояние остается продуктом когерентных состояний в различных режимах.

---

(1) Точнее говоря, суть рассуждения состоит в следующем равенстве

$$\sum_{s=0}^\infty c_s(a+b)^s=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\sum_{m=0}^\infty c_{n+m}(n+m)!\frac{b^m}{m!}.$$

1. Из свойств оператора уничтожения

Итак, сначала вы должны принять это$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$. В этом относительно легко убедиться, поскольку матричный элемент поглощения фотона двухуровневой системой (атомом, переходящим из основного состояния в возбужденное) пропорционален$\langle n-1|a|n\rangle$и это должно быть пропорционально квадратному корню из числа фотонов в световой моде, потому что вероятность поглощения должна быть пропорциональна интенсивности света. Итак, вам нужно что-то вроде$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$(без учета возможного фазового фактора).

Затем, когда вы расширяете когерентное состояние в числовых состояниях,$|\alpha\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$и поместите это в$a|n\rangle = \alpha|n\rangle$, вы видите, что вам нужно$c_n\sqrt{n}=\alpha c_{n-1}$. Результат при опускании$c_n|n\rangle$с$a$должно быть таким же, как умножение$|n-1\rangle$с$\alpha$. Как следствие,$c_n =(\alpha/\sqrt{n})c_{n-1}$и вы закончили. Итерация этого$n$раз дает$c_n = (\alpha^n/\sqrt{n!})c_0$. Нормализация дает значение$c_0$и тогда у вас есть$\langle n|\alpha\rangle=c_n$. Теперь возведите все в квадрат и получите распределение Пуассона.

Так что дело в том, что для больших$n$,$\alpha/\sqrt{n}$всегда будет меньше 1. Вот почему распределение Пуассона в этом случае уменьшается. Для маленьких$n$, происходит обратное, и распределение Пуассона увеличивается.

2. Когерентное состояние в фазовом пространстве.

Есть альтернативная картинка. Вы знаете, что одномодовое поле похоже на гармонический осциллятор, где квадратурные операторы моды играют роль положения и импульса ГО. Теперь когерентное состояние — это волновой пакет, который колеблется в параболическом потенциале, не меняя своей формы. Для этого волнового пакета нет дисперсии, он когерентный (отсюда и название когерентное состояние). Собственные энергетические состояния ГО (соответствующие числовым состояниям полевой моды) статичны, они не двигаются. Итак, чтобы построить когерентное состояние, вам нужно использовать суперпозицию числовых состояний. А взвешивание числовых состояний в суперпозиции — это квадрат вероятностей распределения Пуассона.

Это тоже не интуитивное физическое объяснение, но оно проливает немного больше света на проблему.

3. Когерентное состояние и независимые эмиссионные события.

Другой возможностью получить физическое понимание является независимость событий «излучения». Отсюда легко понять распределение Пуассона. Чего я не вижу, так это связи между когерентным состоянием$|\alpha\rangle$и концепция статистически независимых выбросов. Я думаю, что это даже контринтуитивно. В лазере события индуцированного излучения (вместе с резонатором) создают когерентное состояние. Статистически независимые события спонтанного излучения нарушают когерентное состояние (фазовые флуктуации в лазере).

Кто может помочь?

Распределение Пуассона получено статистически из случайных событий,

он выражает вероятность того, что данное число событий произойдет в фиксированный интервал времени и/или пространства, если эти события происходят с известной средней частотой и независимо от времени, прошедшего с момента последнего события. 1 Распределение Пуассона можно также использовать для количества событий в других заданных интервалах, таких как расстояние, площадь или объем.

Распределение Пуассона является подходящей моделью , если верны следующие предположения.

K — это количество раз, когда событие происходит в интервале, и K может принимать значения 0, 1, 2, …

Проверьте наличие фотонов.

Возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения второго события. То есть события происходят независимо.

Проверьте, нет фотон-фотонного взаимодействия, только суперпозиция.

Скорость, с которой происходят события, постоянна. Скорость не может быть выше в одних интервалах и ниже в других.

Чек об оплате?

Два события не могут произойти в один и тот же момент.

Проверьте, здесь присутствует неопределенность Гейзенберга.

Вероятность события в интервале пропорциональна длине интервала.

Чек об оплате?

Если эти условия выполняются, то K является случайной величиной Пуассона, а распределение K является распределением Пуассона.

У меня есть вопросительные знаки, когда я не знаю, что такое QHO.

Если он проверяется, то это причина, по которой используется Пуассон. В списке вхождений есть два примера для фотонов .

Физически энергия, затрачиваемая на создание фотонов, намного меньше энергии, передаваемой при столкновениях заряженных частиц. В нулевом приближении можно пренебречь влиянием потерянной энергии на рассеяние частиц, и тогда поведение частиц становится известным в любой момент времени. Часто его называют «классическим течением».$j(t)$. С другой стороны, уравнение излучения в этом приближении, грубо говоря, линейно по известному току$j$:$\square A =j$как и соответствующие компоненты Фурье. Точнее, в этом приближении надо решать уравнения КЭД, см. формулу (24.27) в учебнике Ахиезера-Берестецкого:

В этом приближении полевым решением для каждой гармоники является собственное состояние понижающего оператора$a_{\omega}$. Это просто означает две вещи: 1) испускаемые фотоны не мешают/благоприятствуют друг другу при излучении, и 2) всегда достаточно энергии для создания любого количества фотонов. Иными словами, испускание одного фотона не влияет на испускание другого в то же или любое другое время. Их эмиссия случайна. Теперь в игру вступает статистика случайно испущенного количества фотонов, и вы получаете распределение Пуассона.

Как только вы зафиксируете или ограничите сверху испускаемую энергию, распределение Пуассона испортится, особенно для высоких частот и большого числа фотонов.