Квантовый гармонический осциллятор в термодинамике

Я сделаю это в более общем плане для любого$N$и полная энергия$\mathcal{E}$. Во-первых, я полагаю, вы забыли о$\hbar \omega$в гамильтониане, поэтому

$$\hat{H} = \hbar\omega\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\hat{a}_i^{\dagger}\hat{a}_i + \frac{1}{2}\right).$$ В микроканоническом ансамбле нам нужно $\Phi(E)$это общее количество микросостояний, которое имеет полную энергию $E$. Как вы отметили для $E=9/2\hbar\omega$это будет $10$. В случае квантового гармонического осциллятора полная энергия $\mathcal{E}$дан кем-то $$\mathcal{E}(n_1,n_2,\ldots,n_N) = N\frac{1}{2}\hbar\omega + \hbar\omega\sum\limits_{i=1}^{N} n_i.$$ Теперь вы столкнулись со следующей проблемой. Сколько комбинаций целых чисел $n_i$(включая 0) существуют такие, что $$\sum\limits_{i=1}^{N}n_i = \frac{E-N\hbar\omega/2}{\hbar\omega}.$$ Ответ, который вы можете найти здесь , таков: $$\Phi(E) = \binom{\frac{E-N\hbar\omega/2}{\hbar\omega} + N-1}{N-1}.$$

Обозначим через$p(\epsilon|i,E)$условная вероятность того, что число осциллятора$i$имеет энергию$\epsilon$учитывая, что полная энергия$E$. Это не что иное, как отношение$p(\epsilon|i,E) = \phi_i(\epsilon|E)/\Phi(E)$, между числом возможностей, когда$\hbar\omega(n_i + 1/2) = \epsilon$и общее количество микросостояний. Мы можем легко вычислить$\phi_i(\epsilon|E)$потому что она похожа на предыдущую комбинаторную задачу, но теперь у нас на одну частицу меньше:

$$\phi_{i}(\epsilon|E) = \binom{\frac{E-\epsilon - (N-1)\hbar\omega/2}{\hbar\omega}+N-2}{N-2}.$$ Для $E = 9\hbar\omega/2$и $N=3$Вы получаете: $$\phi_i(\epsilon|E=9\hbar\omega/2) = \frac{9}{2}- \frac{\epsilon}{\hbar\omega},$$ так $$p(\epsilon|i,E=9\hbar\omega/2) = \frac{9/2-\epsilon/\hbar\omega}{10}.$$

В микроканоническом ансамбле, если данная энергия имеет вырожденное собственное пространство гамильтониана, то вы просто берете ортонормированный базис для этого собственного пространства и берете некогерентную комбинацию этих состояний в качестве вашей матрицы плотности. (Упражнение для читателя: покажите, что$\rho$, определенный таким образом, не зависит от выбора базиса.)

Для вашего конкретного случая перефразируйте без скучных энергий нулевой точки как

$H = \sum\limits_{i=1}^N a_i^\dagger a_i$, для$N=3$осцилляторы и с полной энергией$3\hbar\omega$, давая$10$состояния в ансамбле.

у нас есть штаты

$$\{|3,0,0⟩,|2,0,1⟩,|2,1,0⟩,|1,2,0⟩, |1,1,1⟩,|1,0,2⟩,|0,3,0⟩, |0,2,1⟩,|0,1,2⟩, |0,0,1⟩\}$$ как ортонормированный базис этого собственного пространства, так что вы просто берете $\rho$быть той комбинацией, $$\rho = \frac{1}{10}\sum_{n_1+n_2+n_3=3} |n_1,n_2,n_3⟩⟨n_1,n_2,n_3|.$$

---

Чтобы вычислить распределение результатов измерения для величины с одним осциллятором, такой как один из отдельных субгамильтонианов, вы можете просто проследить другие гамильтонианы как

$$\rho_1 = \mathrm{Tr}_{2,3}\rho,$$ где частичная трасса - это единственная линейная карта такая, что $$\mathrm{Tr}_{2,3}|n_1,n_2,n_3⟩⟨n_1,n_2,n_3| =|n_1⟩⟨n_1|\ \mathrm{Tr}\bigg[|n_2,n_3⟩⟨n_2,n_3|\bigg] =|n_1⟩⟨n_1|, \tag{$*$}$$ давая вам результат формы $$\rho_1= p_1|n_1⟩⟨n_1| + p_2|n_2⟩⟨n_2| + p_3|n_3⟩⟨n_3|,$$ что затем дает вам вероятности получения результатов измерений, связанных с каждым из этих состояний компонента.

---

Было бы полезно пройти через это полностью, но$E=3\hbar \omega$дело много рутинной работы, так что я сделаю$E=\hbar \omega$случай вместо этого. Здесь у вас есть три соответствующих состояния, что означает, что ваше полное состояние

$$\rho = \frac{1}{3}\bigg( |1,0,0⟩⟨1,0,0| + |0,1,0⟩⟨0,1,0| + |0,0,1⟩⟨0,0,1| \bigg).$$ Затем вам нужно уменьшенное состояние, которое вы получаете из полного состояния, отслеживая осцилляторы. $2$и $3$: вы применяете частичную трассировку, вы разбиваете ее на отдельные факторы по линейности, вы применяете ее через $(*)$к каждому термину, а затем вы добавляете все: $$\begin{align} \rho_1 & = \mathrm{Tr}_{2,3}(\rho) \\ & = \frac{1}{3}\mathrm{Tr}_{2,3}\bigg( |1,0,0⟩⟨1,0,0| + |0,1,0⟩⟨0,1,0| + |0,0,1⟩⟨0,0,1| \bigg) \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|1,0,0⟩⟨1,0,0|\big) + \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|0,1,0⟩⟨0,1,0|\big) + \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|0,0,1⟩⟨0,0,1|\big) \bigg] \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ |1⟩⟨1|\mathrm{Tr}\big(|0,0⟩⟨0,0|\big) + |0⟩⟨0|\mathrm{Tr}\big(|1,0⟩⟨1,0|\big) + |0⟩⟨0|\mathrm{Tr}\big(|0,1⟩⟨0,1|\big) \bigg] \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ |1⟩⟨1| + |0⟩⟨0| + |0⟩⟨0| \bigg] \\ & = \frac{1}{3}|1⟩⟨1| + \frac{2}{3} |0⟩⟨0|. \end{align}$$ Надеюсь, это прояснит ситуацию.

Вы можете найти вероятность с помощью матрицы плотности. Эта матрица плотности является оператором, определяемым формулой

$\hat{\rho}= e^{-\frac{\hat{H}}{k_BT}}$

с постоянной Больцмана$k_B$и температура$T$. Если вы рассчитаете значение ожидания оператора, вы получите вероятность того, что система находится в энергетическом состоянии$\epsilon$.

Расширение квантового состояния в линейную комбинацию собственных состояний гамильтониана может быть полезным.