Почему математика работает для описания и решения физических задач? [закрыто]

Одна очень популярная точка зрения (поддерживаемая Максом Тегмарком) заключается в том, что (цитируя count_to_10):

математика работает, потому что вселенная основана на математике

http://www.scientificamerican.com/article/is-the-universe-made-of-math-excerpt/
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis

Такой взгляд был распространен со времен Пифагора, вплоть до Кеплера и Ньютона, с попытками найти мистические математические закономерности в природе и описанием Бога как Геометра. Галилей писал в 1623 году: «Книга природы написана языком математики».

Альтернативная точка зрения, более «приземленная», состоит в том, что математика возникла из попытки описать мир с помощью чисел — не просто считая, но и измеряя (расстояние, угол, площадь, объем, вес и т. д.). Это очевидно в случае с геометрией (буквально «измерение земли»). Тригонометрия также была разработана для использования в геодезии, навигации и астрономии (в последнем случае для предсказания наводнений или благоприятных астрологических событий). Вероятность была разработана, чтобы ответить на вопросы об азартных играх. Исчисление развилось из попыток объяснить форму небесных орбит. Совсем недавно математика хаоса возникла из предсказания погоды, а фрактальная геометрия — из практического вопроса об измерении длины береговой линии.

На протяжении большей части своей истории математика развивалась как инструмент науки и техники, со времен Архимеда до эпохи Эйлера, Лагранжа, Гаусса и Лежандра. Поэтому не следует удивляться, что в физике это «работает». Только примерно в 1850 году чистая математика была признана отдельным предметом.

Как указывает Пол Т., этот вопрос рассматривался Юджином Вигнером в известном эссе «Необоснованная эффективность математики в естественных науках» ( http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/wigner ). .pdf .) Однако я думаю, что это описание «необоснованной эффективности» противоречит реальности математической физики.

Загляните в книгу Ландау и Лифшица или любой другой учебник по математической физике для выпускников. Увидев ужасную математику, необходимую для решения многих дифференциальных уравнений (преобразования Фурье, функции Бесселя и т. д.), большинство из которых в любом случае не имеют аналитического решения, вы можете задаться вопросом, действительно ли уместно описание «необоснованной эффективности». Тем более, когда вы понимаете, что эти сложные решения все еще являются лишь приближением к реальности, поскольку сами дифференциальные уравнения возникли только после принятия нескольких упрощающих предположений.

В квантовой механике только самые простые задачи могут быть решены аналитически. Некоторые разрешимы только в трансцендентные уравнения (например, конечный потенциальный барьер). Другие рассматриваются только как «возмущения» известных решений или в КЭД требуют суммирования бесконечных рядов членов. В некоторых областях для работы с бесконечностями необходимы специальные приемы, такие как перенормировка и регуляризация.

То, что линейная алгебра достаточно хорошо применима во многих представляющих интерес макроскопических ситуациях, объясняется тем фактом, что (1) многие явления приблизительно линейны в узкой интересующей области и (2) они слабо связаны друг с другом. Тогда эмпирические законы, такие как закон Гука и закон Ома, дают достаточно точные результаты, не усложняя расчеты.

Закон больших чисел, лежащий в основе статистической механики, также является большим подспорьем в преодолении трудностей решения нелинейных уравнений на молекулярном уровне.

Особенно в случае турбулентности, хотя мы можем написать уравнение Навье-Стокса, которое опять-таки основано на упрощающих предположениях, никто еще не придумал, как его решить. Но даже для такой простой системы, как двойной маятник, мы можем написать уравнение движения, но не всегда можем предсказать его поведение.

Как говорит dmckee:

Задумайтесь на мгновение о том, что происходит с предлагаемыми описаниями реальности, математика которых не работает для описания системы, к которой они относятся. Законы Кирхгофа не попали в тексты, потому что имя этого человека забавно произносить.

Когда математика не дает решения физической задачи, ее исключают из учебников. Или упрощаем до тех пор, пока проблема не станет решаемой. Мы концентрируемся на проблемах, которые можем решить, и избегаем тех, которые не можем. Это оставляет впечатление, что математика может решить любую физическую проблему.

Итак, в итоге мой ответ таков:

1. математика работает в физике, потому что она была разработана (частично) для описания мира, и
2. это на самом деле не работает так хорошо, как некоторые люди разбираются.

Ответ на уточненную версию

1. Мы относимся к феномену как к черному ящику только тогда, когда совершенно ничего не знаем о том, что происходит. Затем мы разрабатываем эмпирические уравнения — подбираем параметры и варьируем их, чтобы они соответствовали экспериментальным результатам. Это редко случается в физике, тем более в технике.

2. Обычно мы стремимся к тому, чтобы уравнения моделировали взаимосвязи соответствующих переменных, то есть отражали внутреннюю структуру явления. Однако при решении этих уравнений мы не ограничены имитацией явления — если только мы не запускаем симуляцию. Мы можем использовать любые математические сокращения (например, интегрирование, аналогию, симметрию) для предсказания конечного результата.

3. Да, иногда мы используем смесь этих двух подходов: например, полуэмпирическую формулу массы в ядерной физике и различные уравнения состояния для реальных газов. К этой категории может также относиться многомерный анализ: мы выбираем, какие переменные релевантны, и ищем устойчивые отношения между ними.

4. Я не согласен с Вигнером в том, что в этом процессе и его успехе есть такая большая загадка, что это «чудо» и что «никто не знает, как это работает». Я, как говорит Геремия, ученик Аристотеля, как Вигнер — ученик Платона. Чудо ли, что мы живем на единственной пригодной для жизни планете в пределах видимости? Или это тавтология, раз мы не можем поступить иначе? Точно так же я думаю, что то, что мы добились поразительного успеха в применении математики к физике, является не большим чудом, чем то, что мы добились поразительного успеха в применении нашего разума для разработки аэрокосмических, компьютерных и коммуникационных технологий.

Успех применения математики побудил нас использовать почти исключительно ее, возможно, за счет других подходов. Как я сказал выше, мы склонны сосредотачиваться на задачах, к которым можно применить математику, и пренебрегать теми, к которым она неприменима. И мы не удовлетворены тем, что что-то понимаем, пока не сможем записать и решить основные уравнения.

Когда существующая математика не применима к проблеме, мы пытаемся или изобретаем новые инструменты, концепции или разделы математики, чтобы справиться с ней, такие как топология, неевклидова геометрия, теория катастроф, фрактальная геометрия, хаос, самоорганизующиеся системы и эмерджентность. . Мы забываем о многих неудачах, которые потерпели аспиранты, пытаясь применить неподходящую математику к сложной проблеме.