Почему мы можем квантовать макро(мезо)скопический гармонический осциллятор?

Два комментария:

(1) Противоположность вашему вопросу — в макро- или мезоскопическом состоянии, я думал, что мы обычно все еще рассматриваем (набор многих) микроскопических гармонических осцилляторов , таких как примеры полости, или БЭК, или сверхтекучие жидкости?

Хорошо известным примером является переход 1+1D сверхтекучесть-изолятор. (Вы знакомы с этой моделью?) Учитывая микроскопический гамильтониан решетки:

$$H=-t \sum_{\langle i,j \rangle} (\psi_i^\dagger \psi_j +\psi_j^\dagger \psi_i) + U \sum_i (\hat{N}_i - \langle\bar{N}\rangle)^2$$ С $\psi_j$некоторого бозонного оператора и оператора числа бозонов $N_i=\psi_j^\dagger \psi_j$. Вы можете показать, что (2-е) квантование с $\psi_j = \sqrt{N_j} e^{i \theta_j}$фазы U(1) $\theta$, с коммутаторами $[ \psi_i, \psi_j^\dagger]= \delta_{i,j}$. Вы можете получить $$\boxed{ [ \theta_i, \hat{N}_j]=-i \delta_{i,j}}.$$ Предельным полем непрерывного поля является свободное уравнение Клейна-Гордона. Прежде всего имеют линейную дисперсию $\boxed{\omega \propto k}$. Это сверхтекучий режим, когда симметрия U(1) нарушена, и

Вывод здесь для этого коммутатора$[ \theta_i, \hat{N}_j]=-i \delta_{i,j}$дает что-то, что вы можете отнести к макро- или мезоскопическому гармоническому осциллятору (замаскированному аналогу$[x,p]=i \hbar$для гармонического осциллятора с одним сайтом) , но это НИЧЕГО таинственного, а общий эффект набора микроскопических явлений. Степень свободы и квантование зависят от микроскопических операторов создания/уничтожения на каждом сайте. Так что это всего лишь явления из множества микроскопических гармонических осцилляторов .

(2) Поддержите ваш вопрос - есть примеры системы конденсированных сред, с учетом возникающих степеней свободы, где квазичастицы (такие как 2 + 1D-анионы) действительно сильно отличаются от фундаментальных составляющих. См. пример эмерджентной топологической теории Черна-Саймонса, где можно вывести явление макро- или мезоскопического гармонического осциллятора на вашем родном языке (путем квантования внутренних эмерджентных калибровочных полей (анионов)) , и многие другие примеры, такие как в торическом коде или в модели струнной сети.

Начнем с того, что макроскопическая система подчиняется тем же законам, что и микроскопическая, хотя ее труднее изолировать от окружающей среды. В любом случае можно считать, что ваш гармонический осциллятор состоит из множества частиц, каждая из которых имеет свой индивидуальный оператор Гамильтона, а также взаимодействия между каждой частицей, поэтому общий гамильтониан представляет собой просто сумму этих частиц и действует на волновую функцию для всего система. Теперь вы всегда можете выбрать разные переменные для описания системы, и удобная замена переменной оказывается$x_\mathrm{com}$, центр масс системы и$x_i$, положение$i^\mathrm{th}$частица относительно центра масс. В основном вы обнаружите, что переменная$x_\mathrm{com}$не входит ни в один из членов взаимодействия из-за инвариантности задачи к переводу, за исключением случаев, когда он входит в потенциальную функцию$V(x_\mathrm{com})$и кинетическая энергия. Поэтому вы можете записать свою волновую функцию как$\Psi(x_\mathrm{com}, x_1,x_2,\dots) = \Psi_\mathrm{com}(x_\mathrm{com}) \times \psi(x_1,x_2,\dots)$, или, по крайней мере, суперпозицию таких состояний. Как только у вас есть решение, которое удовлетворяет

$$(T_\mathrm{com} + V_\mathrm{com}) \Psi_\mathrm{com}(x_\mathrm{com}) = E_\mathrm{com} \Psi_\mathrm{com}(x_\mathrm{com})$$ вы можете подставить это решение в волновую функцию всей системы и решить для движения других частиц. Другими словами, центр движения не учитывается, и его динамику можно рассматривать отдельно.

Сказав это, нормальные решения, которые вы получаете для гармонических осцилляторов, не очень хороши для макроскопических систем, потому что они имеют такую ​​​​большую неопределенность и совсем не выглядят как классическое поведение, поэтому вместо этого вы должны рассматривать когерентные состояния.

Когда вы возбуждаете составной генератор, все микроскопические биты колеблются в фазе друг с другом.

Говоря квантовым языком, дело не только в том, что все микроскопические частицы возбуждаются по отдельности, но и в том, что их колебательные фазы в некотором смысле выровнены.