Почему нет необходимости в дополнительных знаниях, чтобы перейти от классического к квантовому описанию системы?

«Причина», по которой работает процедура квантования, неизвестна. Физика не может ответить на вопрос, почему то, что описывает природу, описывает природу.

Однако процедура квантования не работает без дополнительных знаний . На самом деле не во всех случаях даже известно, какова «правильная» процедура квантования. Я перечислю несколько препятствий (без претензии на полноту), которые должны убедить вас в том, что для квантования классической системы необходима дополнительная информация :

• Теорема Грёневольда-ван Хова о непроходимости (см. также этот мой ответ ) говорит, что каноническое квантование, которое просто заменяет скобки Пуассона коммутаторами , не работает в той общности, в которой нам хотелось бы. Есть несколько возможных модификаций скобки Пуассона (или, скорее, произведения классических наблюдаемых в фазовом пространстве), которые дают непротиворечивую процедуру квантования, но этот выбор не уникален . Вы используете дополнительную информацию, когда выбираете конкретную модификацию. По сути, это формальное отражение того, что обычно называют «неоднозначностью порядка»: учитывая классическую наблюдаемую$x^np^m = x^{n-1}p^m x = \dots = p^m x^n$, какое из этих классически эквивалентных выражений вы превращаете в соответствующий квантовый оператор, если у вас есть CCR между$x$а также$p$сделать их всех неравными в квантовой теории?

• Квантовые аномалии: для общего обсуждения аномалий см. этот превосходный ответ Дэвида БарМоше , для формального вывода о возможности появления центральных зарядов при переходе от классической к квантовой теории см. этот мой ответ . Суть в том, что в ходе квантования мы можем «расширить» наши классические группы симметрии, и ранее инвариантные объекты могут уже не быть инвариантными. Это обычно вводит новый параметр в квантовую теорию, центральный заряд расширенной группы симметрии, и снова требует определения дополнительных данных, если это не разрушает квантовую теорию полностью.

  Фактически, это может быть наиболее важным аспектом такой аномалии: если у вас есть аномалия калибровочной или гравитационной симметрии, у вас нет непротиворечивой квантовой теории. В некоторых теориях поля аномальный член естественным образом определяется остальной частью теории, поэтому, если они «чудесным образом» не сокращаются, квантовая теория таких теорий поля не существует в обычном смысле. Никакая дополнительная информация не может это исправить, мы просто не знаем последовательного квантования таких теорий.

• Проблема решетки: классически довольно бесспорно, что мы можем рассматривать континуумные теории поля как пределы дискретизированных теорий. С квантовой точки зрения это становится ужасно трудным: неизвестно, совпадает ли континуальный предел квантованной решеточной теории с квантованием континуальной теории; на самом деле я считаю, что это не всегда так, см., например, проблему тривиальности решетки$\phi^4$теория. Однако можно заметить, что эта конкретная проблема связана с отсутствием полностью строгих рамок квантовой теории поля в целом.

Наконец, позвольте мне заметить, что представление о квантовании как о фундаментальной операции приводит к обратному, если мы относимся к квантовой механике серьезно: именно классическая система должна быть получена из квантовой системы в определенном пределе, а не наоборот. Вполне возможно, что существуют квантовые системы без соответствующей классической системы - просто нет способа их просмотра, который показался бы нам классическим. В качестве волнообразного примера подумайте о фермионных степенях свободы со спином 1/2: их очень трудно найти в классической теории, поскольку просто нет мотивации их рассматривать, но они появляются довольно естественно с квантовой точки зрения.

В этом смысле замечательно, насколько хорошо квантование работает как общий руководящий принцип, но нас не должно удивлять, что «нам не нужны никакие дополнительные знания» на самом деле не точны.

Несколько лет назад я начал почти с того же вопроса: «Что заставляет нас квантовать систему или что происходит, когда мы квантуем систему?»

Подобные вопросы задавались примерно 90-50 лет назад аналогичным образом, анализируя, является ли описание квантовой механики полным и реальным (то есть, все ли элементы имеют реальный аналог).

Тема была улажена с так называемой копенгагенской интерпретацией , парадоксом ЭПР и, наконец, с неравенствами Белла , которые все вместе говорят нам, что квантовая механика немного странная. Например, не следует думать о волновой функции как о реальной частице, если только она в настоящее время не измеряется каким-либо классическим измерительным прибором, а такие вещи абсолютно противоречат разумному наглядному объяснению квантовой механики.

Я нашел все это немного неудовлетворительным и нашел изъян в таком взгляде на квантовую механику.

Первое, на что я наткнулся, была механика Бома , которая пытается объяснить процедуру квантования тем фактом, что мы действительно просто не знали «правильных» классических уравнений. Можно показать, что решение уравнения Шрёдингера (которое получается с помощью канонического квантования )

если рассматривать волновые функции$\Psi = R \cdot \exp \left(i\frac{S}{\hbar}\right)$что не является ограничением общности. Уравнение (2) представляет собой уравнение неразрывности для плотности заряда$\rho = R^2$что оказывается распределением вероятностей$\varrho = |\Psi|^2 = R^2$в квантовой механике. Первое уравнение (1) — это обычная классическая механика, дополненная дополнительным потенциалом$Q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta R}{R}$так называемый квантовый потенциал . Однако эта интерпретация имеет некоторые проблемы. Прежде всего, он не может объяснить (только аксиомировать), почему реальное распределение заряда$R^2$управляет всем статистическим поведением системы независимо от других действующих сил$\vec{F}$.

Ключом к пониманию квантовой механики является понимание ее статистической природы. Так может ли быть, что квантовая механика является чем-то вроде обычной классической статистической механики (поскольку кажется, что обе они связаны одними и теми же лагранжианами/гамильтонианами)?

Белл исследовал этот вопрос с помощью своих знаменитых неравенств Белла и пришел к выводу, что в квантовой механике действительно существуют значения среднего (которые согласуются с экспериментом), которые не могут быть воспроизведены никакой классической статистической механикой (в обычном смысле немгновенной теории). действие, например релятивистская механика). Он был номинирован на Нобелевскую премию, что объясняет доверие физиков к этим неравенствам. В результате не должно быть возможности описать квантовую механику на основе классической статистической механики.

Однако, что касается моего анализа , в выводе этих неравенств есть большая ошибка, которая делает их лишенными смысла (например, классические системы также могут нарушать их). Я не первый, кто пришел к такому выводу, на самом деле существует огромный список так называемых лазеек в теореме Белла , которые по большей части сосредоточены на процессе измерения и на том, можно ли интерпретировать обнаруженные нарушения в соответствии с Теорема Белла.

К сожалению, из-за философского характера этого вопроса вся эта область исследований скатилась в область безумия . Только в последнее время (последние 10-20 лет или около того) он снова стал популярен.

Теперь, если вы согласны с моим утверждением, что теорема Белла неверна , нет необходимости отбрасывать возможность того, что квантовая механика является своего рода статистической механикой. На самом деле, может быть способ показать, что процесс квантования теории просто выполняет классическую статистическую механику с некоторыми дополнительными предположениями.

Тем не менее, это не может объяснить тот факт, что обычная классическая статистическая механика является ансамблевой статистической механикой, в то время как стандартная КМ и эксперименты обычно касаются одиночных частиц. В ансамблевой механике математические ожидания рассчитываются на основе множества одинаковых и независимых частиц, которые имеют разные начальные значения (например, место и импульс). Однако в эксперименте кажется, что отдельная частица мистическим образом знает, как вести себя в соответствии с разными и не существующими частицами ансамбля. Эта проблема может быть решена с помощью так называемого принципа эргодичности , который утверждает, что для некоторых систем среднее значение по времени совпадает со средним значением по ансамблю. Обычно это верно только для хаотических систем, для которых у нас явно есть контрпримеры (не каждая наблюдаемая нами система ведет себя хаотично).

Современная вершина квантовой механики КТП избавляется от описания природы на основе частиц. Все становится полем, которое является объектом с бесконечно большим числом степеней свободы . Например, есть поле электрона, а также поле фотона. Только позже вводятся состояния, которые находятся в тесной связи с известными нам частицами. В контексте классической статистической интерпретации это означает, что частицы — всего лишь статистические артефакты теории, то есть поля могут находиться в состояниях, «симулирующих» поведение частиц. Ввиду бесконечности степеней свободы такого поля вполне возможно выполнение принципа эргодичности, так что измерение за некоторый конечный интервал времени$\Delta t$фактически отражает среднее значение поля по ансамблю!

В результате мы вновь получили следующий наглядный взгляд на квантовую механику :

Возьмем, к примеру, атом водорода. Оно состоит из поля электрона, поля фотона и поля протона (точнее, полей кварков и глюонов, образующих протон). Эти поля ведут себя в соответствии с неквантованнымуравнения КТП-лагранжианов. Из-за бесконечности степеней свободы поведение очень хаотично. В результате нас интересует только среднее поведение такой системы. Затем можно было бы попытаться вычислить среднее значение по времени этой системы, которое (в силу принципа эргодичности) совпадает со средним значением по ансамблю. Процесс канонического квантования теперь представляет собой просто использование обычной ансамблевой статистической механики. Мы знаем, что существуют статистические состояния, которые соответствуют нашему представлению об отдельных частицах, и поэтому мы можем объяснить, почему эксперименты показывают, что атом водорода состоит из частиц, которые действуют иначе, чем свободные частицы. Например, электрон не излучает тормозное излучение и имеет квантованный уровень средней энергии, поскольку связанные (статистические) парциальные состоянияв конечном итоге отличаются от тех, которые образованы невзаимодействующими полями ( состояния свободных статистических частиц ).

Итак, возвращаясь к вашему вопросу: "Почему нет необходимости в дополнительных знаниях, чтобы перейти от классического к квантовому описанию системы?"

Ответ : Мы просто занимаемся статистической механикой на основе классических уравнений.

Это весьма гипотетическая точка зрения, но она отражает мои текущие взгляды на процесс квантования и квантовую механику. Все падает и стоит с предположением:$\textrm{quantization} \leftrightarrow \textrm{statistical mechanics}$. На эту тему была проведена некоторая работа, например, в форме классической механики Купмана-фон Неймана , которая показывает, что статистическую механику можно представить в форме операторов в гильбертовых пространствах. Недавно я также нашел способ вывести правило квантования$\vec{p} \rightarrow -i\hbar \vec{\nabla}$основано на классическом статистическом механическом ожидаемом значении, но оно еще не в форме, которую можно опубликовать. Так что относитесь ко всему этому с осторожностью.