Почему обозначение ket и bra?

В самом деле, я согласен с вами, стандартные обозначения, по моему личному мнению, уже достаточно ясны, и обозначения скобок следует использовать, когда они действительно полезны. Типичным случаем в КМ является случай, когда вектор состояния определяется набором квантовых чисел, подобных этому.

$$\left|l m s \right\rangle$$ Другой случай касается использования так называемых оккупационных номеров . $$\left|n_{k_1} n_{k_2}\right\rangle$$ в КТФ. Также q-битная нотация для состояний $\left|0\right\rangle$, $\left|1\right\rangle$в квантовой теории информации имеет смысл... Наконец, использование скобочных обозначений позволяет очень эффективно обозначать ортогональные проекторы на подпространства. $$\sum_{|m|\leq l}\left|l m \right\rangle \left\langle l m\right|\:.$$

Причина его, на мой взгляд, в настоящее время не совсем оправданного использования историческая и связана со знаменитым учебником П.А.М. Дирака. В 1930-е математические объекты, такие как гильбертовы пространства и двойственные пространства, самосопряженные операторы, не были хорошо знакомы физикам с математическими инструментами. (Современное понятие гильбертова пространства было введено в 1932 г. Дж. фон Нейманом в его менее известном учебнике по математическим основам КМ.) Дирак предложил очень красивое обозначение, которое воплощало фундаментальную часть формализма. Однако он также включает в себя некоторые недостатки. В частности, манипулирование несамосопряженными операторами, например симметриями, оказывается очень громоздким в рамках формализма скобок. Если$A$является самосопряженным, в$\left\langle \psi\right| A\left| \phi\right\rangle$оператор можно безразлично рассматривать как действующий слева или справа, сохраняющий конечный результат. Если оператор не самосопряженный, то это ложно.

Я думаю, что обозначение bra-ket - очень полезный инструмент, но в QM его следует использовать "cum grano salis". С моей точки зрения$\left|\psi\right\rangle$куда$\psi$является волновой функцией квантовой механики , может быть опасной записью, особенно для студентов, поскольку она порождает вводящие в заблуждение вопросы, подобные этому,$A\left|\psi\right\rangle = \left|A\psi \right\rangle$?

ПРИЛОЖЕНИЕ . Я понимаю, что интерпретировал вопрос в более широком смысле, касающемся использования нотации скобок в КМ, а не ограниченной области квантовой теории информации.

Что такое "нормальная векторная запись"? Я видел угловые скобки с запятыми, круглые скобки, квадратные скобки,$\hat{x}$,$\hat{i}$, матрицы-столбцы, матрицы-строки... какая из них "нормальная",$(x|y)$, ...?

Бюстгальтеры и кеты - это еще один вариант, с тем особым преимуществом, что он отличает векторное пространство от его двойственного пространства.

редактировать после комментария

Обратите внимание, что некоторые из них являются обозначениями компонентов, которые не подходят для квантовой механики, поскольку количество измерений может быть большим или бесконечным.

Я думаю, что есть практическая причина для кет-нотации в квантовых вычислениях, которая заключается в том, что она сводит к минимуму использование индексов, что иногда может сделать вещи более читабельными.

Если у меня есть один кубит, я могу записать его канонические базисные векторы как$\mid 0 \rangle$а также$\mid 1 \rangle$или как$\mathbf{e}_0$а также$\mathbf{e}_1$, это не имеет большого значения. Однако теперь предположим, что у меня есть система с четырьмя кубитами. Теперь в «нормальной» векторной записи базисные векторы должны были бы выглядеть примерно так:$\mathbf{e}_{0000}$,$\mathbf{e}_{1011}$и т. д. Наличие этих длинных строк цифр, набранных в виде крошечных нижних индексов, делает их трудными для чтения и выглядит не так хорошо. В кет-обозначении они$\mid 0000\rangle$а также$\mid 1011\rangle$д., что немного улучшает ситуацию. Вы бы тоже сравнили$\mid\uparrow\rangle$,$\mid\to\rangle$,$\mid\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\rangle$и т.д. с$\mathbf{e}_{\uparrow}$,$\mathbf{e}_{\to}$,$\mathbf{e}_{\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow}\,\,$по аналогичной проблеме.

Все ответы до сих пор дают веские основания для обозначения Дирака (бюстгальтеры и кеты). Однако основная причина, по которой Дирак почувствовал необходимость ввести это обозначение, похоже, отсутствует в этих ответах.

Когда я указываю количество как вектор, скажем

$$\mathbf{v}=[a, b, c, d, ...]^T$$ тогда в действительности я уже решил, что является основой, в терминах которой выражается количество. Другими словами, каждая запись представляет значение (или коэффициент) для этого базового элемента.

Когда Дирак разработал свои обозначения, он понял, что квантово-механическое состояние содержит одну и ту же информацию независимо от основы, в терминах которой это состояние выражается. Таким образом, нотация предназначена для представления этой абстрактности. Объект$|\psi\rangle$не делает никаких утверждений об основании, в терминах которого оно выражено. Если я хочу рассмотреть это с точки зрения определенного базиса (скажем, базиса позиции), я бы вычислил сокращение

$$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$$ и тогда я получаю волновую функцию в базисе положения. Я с таким же успехом могу выразить это в базисе Фурье $$\langle k|\psi\rangle = \psi(k)$$ и получить волновую функцию в области Фурье. Оба $\psi(x)$а также $\psi(k)$содержат одинаковую информацию, так как связаны преобразованием Фурье. Однако каждый из них представляет определенную предвзятость в том смысле, что они отлиты с точки зрения конкретной основы. Сила нотации Дирака заключается в том, что она позволяет выполнять вычисления без необходимости вводить это конкретное смещение. Я думаю, что это возможность, предоставляемая нотацией Дирака, которая недоступна в обычной векторной нотации.

Во-первых, это обозначение делает очень ясным, какие объекты интерпретируются как элементы первичного пространства (кеты) или элементы двойственного пространства (брас).

Названия «бюстгальтер» и «кет» напоминают, как образовались обозначения: как левая и правая половинки внутреннего продукта, проекция состояния$a$вдоль измерения$\phi$внутренний продукт (обозначается угловыми скобками)$\langle \phi , a \rangle$, который можно типографски разбить на$\langle \phi \mid\,\mid a \rangle$, два объекта, типографски намекающие на векторность.

Существует также ограничение пишущей машинки, которое способствует этой нотации (и слишком много нотаций, которые являются просто вариантами двух или более элементов в списке, разделенном запятыми, ограниченном скобками или квадратными скобками: GCD, LCM, объект, созданный, встретиться, присоединиться , интервалы с различными соглашениями о конечных точках, последовательности, кортежи объектов и т. д.). Набирать вектор-столбец на пишущей машинке занимает очень много времени. Пишущие машинки не имеют больших круглых скобок для векторов-столбцов. Это приводит к строго искаженным конструкциям типа «Пусть$A$быть линейным оператором между$\Bbb{R}^2$а также$\Bbb{R}^2$, тогда$A \cdot (1,0)$has ...", где вектор-строка вводится в том месте, где требуется вектор-столбец. В частности, это означает, что наиболее распространенную форму вектора в начальной линейной алгебре трудно набирать, и поэтому она часто неправильно транспонировалась.

Кроме того, элементы основного и двойного пробелов должны быть легко различимы (чтобы предотвратить непреднамеренное написание, например,$\sum_i \mid \mathrm{e}_i \rangle \mid \mathrm{e}_i \rangle$). Однако «очевидное» решение напечатать еще труднее:$\sum_i \langle \mathrm{e}_i \mid \underline{\widehat{\mathrm{e}_i}}$" (и даже с полной мощью MathJax столько времени, сколько я готов потратить на это, обязательно имеет основной вектор, указывающий вверх, а не вниз).

Наконец, вещи, которые человек кладет в бюстгальтер или кепку, редко представляют собой набор векторных компонентов. Согласно определениям, которые использует математик, все компоненты вектора происходят из одного и того же поля. Это не будет работать для состояний, описываемых некоторыми непрерывными и некоторыми дискретными переменными, или состояниями с некоторыми переменными в простом пространстве и некоторыми переменными в касательном пространстве. (Если мы заставим это работать, мы на самом деле получим прямые суммы модулей, а не векторных пространств.) Таким образом, хотя мы можем захотеть поместить списки чисел, описывающих состояние, в бюстгальтер или кепку, то, что мы получаем, не является и не может быть (формальный) вектор.

Обозначение скобки - это продвижение скалярного произведения «нормальных» векторов.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_i a_ib_i .$$ Это обобщается на внутренний продукт $\langle a, b \rangle$, который для функций определяется как: $$\langle a(x), b(x) \rangle = \int a(x)b(x) dx$$ в простом случае 1-мерных функций.

Что ж, большим преимуществом нотации скобок является то, что нет необходимости указывать представление, т.е. систему координат, до тех пор, пока кто-то не захочет что-то вычислить в определенном пространстве.

Частью привлекательности нотации является независимость от абстрактного представления, которую она кодирует, а также ее универсальность в создании конкретного представления (например, x или p, или базы собственных функций) без особых церемоний или чрезмерной зависимости от природы линейных пространств. вовлеченный.

Это очень удобно, например, при вычислении таких уравнений, как

$$\langle \psi_0 | ( |\psi_0\rangle + |\psi_1\rangle) = \langle \psi_0 |\psi_0\rangle ,$$ куда $|\psi_i\rangle$некоторые ортогональные состояния. Это быстрая оценка без необходимости указания системы $|\psi\rangle$- будь то $|\psi_0\rangle = (1, 0)$а также $|\psi_1\rangle = (0, 1)$или это $|\psi_0\rangle = (1, \pi/2)$а также $|\psi_1\rangle = (1, 0)$в полярных координатах $r, \varphi$.

Я вижу, ваша точка зрения на «нормальную» векторную запись намного яснее. Это может иметь место для таких простых векторов, как приведенные выше, но усложняет запись, когда речь идет о функциях в многомерном или даже бесконечномерном гильбертовом пространстве .

Обозначение bra-ket исходит от Дирака. Фейнман дает хорошее объяснение в своих «Лекциях по физике», том. 3, стр. 3-2. Если вы знакомы с условной вероятностью, мы пишем вероятность увидеть$b$если мы видели$a$написано

$$P(b|a)$$

В квантовой механике вычисление зрения$b$, если мы уже видели$a$, записывается в скобках:

$$\langle b|a \rangle$$ это та же идея, за исключением того, что это не вероятность, а комплексное число, называемое амплитудой вероятности . В квантовой механике мы не работаем с действительными числами; расчеты вероятностей дают хорошие предсказания только тогда, когда мы работаем с комплексными числами. В конце вычислений длина комплексного числа возводится в квадрат , чтобы получить вероятность действительного числа, которую мы ожидаем наблюдать: $$| \langle b|a \rangle |^2$$

Теперь мы можем говорить об апостериорных условиях и априорных условиях как о «лифчике».$\langle b|$и "кет"$|a \rangle$. Тогда, если вместо конкретного результата$b$мы рассматриваем все возможные исходы, то есть вектор, «бра-вектор». Пространство предшествующих значений (или состояний) является «кет-вектором».

Предпочтение записи в квадратных скобках может быть связано с тем, как сделать элегантную классическую интерпретацию квантовых измерений.

Рассмотрим систему, описываемую состоянием$|\beta\rangle$то среднее или ожидаемое значение оператора$\hat{A}$что соответствует классической теории, есть просто скобка оператора. Или прослоить оператора:

$$\langle \beta| \hat{A} |\beta\rangle$$

В случае атома водорода, например, скобка оператора положения для электрона в собственном состоянии$|\epsilon_{n}\rangle$, равно нулю. Таким образом, классически электрон находится в ядре или начале:

$$\langle \epsilon_{n}| \hat{X} |\epsilon_{n}\rangle=0$$

С классической точки зрения имеет смысл, почему излучение не испускается, пока система находится в собственном энергетическом состоянии.

Вот пример. Допустим, вы работаете со свободной частицей во вводной квантовой механике, где «вектор»$\vec{\psi}$имеет бесконечно много компонентов (я знаю, что это звучит безумно, если у вас нет большого опыта в квантовой механике, но это так). Используя традиционные обозначения, вы не можете отследить,$\vec{\psi}$принадлежит двойственному или регулярному пространству - будь то$\vec{\psi}$представляет собой вектор-строку или вектор-столбец соответственно. В стандартной нотации вам пришлось бы выписывать компоненты (их бесконечно много!), чтобы продемонстрировать строку или столбец.

Обозначение Bra-ket там лучше. «Бюстгальтеры»$\left \langle \psi \right |$являются двойственными векторами к «кетам»$\left | \psi \right \rangle$.

Более сумасшедшая и более полезная интерпретация состоит в том, что бюстгальтеры — это линейные функции , а кеты — их аргументы .