Почему поначалу наполнить воздушный шар изо рта намного сложнее?

Я думаю, что большинство ответов здесь неверны, поскольку это не имеет ничего общего с уменьшением сопротивления резины. На самом деле сила, необходимая для растяжения воздушного шара, увеличивается, а не уменьшается при надувании. Это похоже на растяжение струны, т.е. сила реакции пропорциональна увеличению длины струны - поэтому есть момент, когда вы уже не можете растянуть грудной эспандер.

Настоящая причина того, что вначале трудно надуть воздушный шар, заключается в том, что в начале, т.е. с первым ударом вы значительно увеличиваете общую поверхность шара, поэтому сила (давление на поверхность) также значительно увеличивается. С каждым последующим ударом увеличение общей поверхности меньше, как и увеличение силы. Это результат двух фактов:

• постоянное увеличение объема с каждым ударом
• объем шара пропорционален кубу радиуса , а поверхность шара пропорциональна квадрату радиуса

Для сферы у вас есть:

Возьмите полоску резины для баллонов и потяните ее. Будет труднее, чем больше вы будете тянуть. Так почему же надувать воздушный шар становится легче (по крайней мере, задолго до точки разрыва)?

Воздушный шар начинается с очень высокой кривизны, поэтому давление воздуха сильно искажает каждое пятно на его поверхности по сравнению, например, с его соседями в 1 см. Все натяжение резины тянет внутрь под относительно острым углом. С большим шаром этот угол становится более плоским.

Представьте, что у вас есть нить, прикрепленная к стене. Вы подвешиваете груз к центру нити и оттягиваете другой конец. Теперь тянуть становится все труднее и труднее по мере того, как угол между концами вашей нити становится шире. Воздействие веса становится больше, хотя вес не меняется. И наоборот, если вы будете тянуть нить с постоянным усилием, вам понадобится гораздо больший вес для получения острого угла, чем для получения широкого угла.

Этот эффект в значительной степени компенсирует фактическое увеличение напряжения в резине.

Попробуйте это с помощью http://www.calculatoredge.com/calc/sphere.htm . Это не идеально, в основном потому, что оно не дает разумных цифр для начала, но найдите некоторые, а затем измените давление и объем, чтобы увидеть влияние на стресс. Удвоение радиуса будет означать удвоение напряжения, поэтому, наоборот, вам потребуется половина давления, если напряжение останется прежним, чтобы надуть в два раза больший воздушный шар.

Если сомневаетесь, используйте математику.

Представьте воздушный шар в виде сферы (достаточно близкой для этого ответа) начального радиуса$r_0$и толщина$t$. Надуем его чуть-чуть из ненадутого состояния (до радиуса$r_0 + \Delta r$). Теперь мы можем посмотреть, что получится, если сделать разрез по экватору сферы. Полная окружность по экватору равна$2\pi r$; с толщиной$t$область резины, с которой мы работаем,$2\pi r t$. Растягивание радиуса воздушного шара на$\Delta r$увеличивает окружность на долю$\frac{\Delta r}{r}$- это напряжение. Теперь, если мы примем, что резина является абсолютно эластичным материалом (постоянный модуль Юнга E), то сила, которую нам нужно приложить, равна

поэтому сила не зависит от радиуса , хотя и зависит от степени растяжения ($\Delta r$).

Теперь сила, действующая на резину, создается давлением в воздушном шаре, деленным на площадь на экваторе:

Объединив эти два, вы получите

Потому что есть$r^2$в знаменателе, это показывает, что давление будет меньше, когда воздушный шар станет больше - другими словами, надувать воздушный шар изначально труднее, как и обычно.

Но подождите - есть еще. Толщина воздушного шара становится меньше по мере растяжения воздушного шара - для сферы это несколько сложная величина, включающая коэффициент Пуассона материала. Но дело в том, что$t$станет меньше, как$r$становится больше: это приведет к еще более быстрому падению давления с увеличением радиуса.

Наконец, модуль упругости не совсем постоянен — в частности, когда резина растягивается за пределы определенной точки, она становится намного жестче. Это причина того, что воздушный шар, который сначала стало легче надувать, в конце концов становится довольно твердым - и, продолжая надувать его дальше, он может лопнуть.

Как сказал Дев выше, материал, из которого сделан ваш типичный круглый воздушный шар, имеет нелинейную кривую напряжения-деформации. Когда он только начинает надуваться, он довольно жесткий, но затем, когда он начинает надуваться, жесткость несколько снижается, пока не приблизится к своему максимальному размеру. Мы измерили это в моем студенческом продвинутом лабораторном классе, и хотя у меня нет под рукой данных, есть веб-сайт , который показывает кривую напряжения-деформации для воздушного шара.

Редактировать: заменена исходная ссылка, неясно, было ли на странице вредоносное содержимое или нет? У меня не было предупреждений в последних версиях Firefox и Chrome, но лучше перестраховаться, чем потом сожалеть.

Объем воздушного шара растет линейно, а поверхность (которую вы на самом деле растягиваете) — нет. Таким образом, хотя вы надуваете в воздушный шар такое же количество воздуха, вы не растягиваете поверхность так сильно, как в начале.

Давайте сначала подытожим, что мы на самом деле испытываем, надувая воздушный шар. Для самого первого бита громкости мы должны приложить много энергии. Или, наоборот, мы должны приложить большое давление, исходящее от наших легких, потому что для изменения энергии$\delta E$, изменение громкости$\delta V$и дополнительное давление$\Delta P$(это разница между реальным и атмосферным), имеем примерно

ARM , Golem и Джон Бентлин указали на эффекты, из-за которых воздушный шар становится труднее надуть, когда он надут меньше, чем сильно. Однако не совсем ясно, какой из эффектов играет в данном случае главную роль.

Эффект «S-кривой» в реакции баллона на растяжение, тем не менее, значителен только в отношении растягивающего давления , которое соответствует давлению, при котором мы достигаем вершины S-образной кривой. Давление на растяжение резины обычно составляет около$10-15 MPa$. Таким образом, мы можем спросить, достигаем ли мы при линейном растяжении типичного воздушного шара давления растяжения при первом ударе или нет. Как только мы это делаем, мы выбрасываем модель и потом говорим, что ее намного легче растянуть, так как теперь резина «перетянута».

Для давления внутри сферического объема диаметром r , удерживаемого мембраной с поверхностным натяжением$\sigma$, есть закон, называемый законом Лапласа, и он гласит:

Для каучука у нас есть модуль Юнга около$E_Y = 0,01-0,1 GPa$. Поверхностная энергия мембраны снова может быть получена из энергетических соображений как

куда$d$- толщина стенки шара. Однако$d$растекается по растущей поверхности, т.$r^2$. Без дальнейших колебаний мы можем просто написать приблизительное выражение

Где$d_0$а также$r_0$- начальная толщина и плотность. Сложив все формулы вместе, получим

Таким образом, вы можете видеть, что давление падает для более высокого$r$в качестве$r^{-3}$. Единственный шанс, что S-образная кривая сыграла бы свою роль, это если бы мы были близки к вершине даже при начальных значениях толщины и$r$. Поставив небольшой$r_0=1cm$,$d_0=1mm$а также$E_Y = 0.1 GPa$, получаем начальное давление

что во всяком случае меньше, чем$15 MPa$, так что S-образная кривая наверняка не сыграет роли в первом ударе.

В заключение, давление является самым высоким для первого удара, потому что резина растекается, а большая поверхность требует меньших затрат энергии, чтобы удерживать больший объем .

Эффект от предварительного надувания воздушного шара просто дает вам больший$r_0$и воздушный шар в конечном итоге лопается только потому, что стенка становится слишком тонкой, а небольшие дефекты заставляют его разрушиться даже при очень небольшом давлении.

Материал нерастянутого воздушного шара сопротивляется растяжению; это в значительной степени можно преодолеть, предварительно растянув его вручную (этому я научился у своей мамы, когда мне было около 5 лет). Еще одна вещь, которую я хотел бы рассмотреть (и о которой я пока не упоминал), — это кумулятивная сила, действующая на внутреннюю поверхность воздушного шара при его надувании, рассчитанная как давление x площадь. Пример: круглый шар диаметром 2 дюйма имеет площадь поверхности около 50 квадратных дюймов при 2 фунтах на квадратный дюйм, что составляет 100 фунтов общей силы. При диаметре 4 дюйма он имеет площадь около 200 квадратных дюймов; при тех же 2 фунтах на квадратный дюйм это теперь составляет 400 фунтов общей силы. Разница в силе равна квадрату изменения диаметра.

Кривая давления для резинового баллона , обобщенная в статье Википедии « Эксперимент с двумя баллонами », выводит давление с использованием теоретического уравнения напряжения, основанного на термодинамической теории упругости идеальной резины. Они находят приблизительную формулу

В этой лекции используется «обобщенный закон Гука для двумерных плоских напряжений по отношению к эйлеровой мере деформации» (которую они называют очень грубой аппроксимацией) для получения кривой ($\nu = 1/2$для несжимаемых).

Оба вывода учитывают истончение резины (предполагаемой несжимаемой) по мере растяжения мембраны.

Потому что резина изначально толще. Толстую резину труднее растянуть, чем тонкую, пропорционально ее толщине. А толщина резины в воздушном шаре обратно пропорциональна площади его поверхности.

Эластичность резины обратно пропорциональна давлению/температуре, что делает ее более твердой при охлаждении и более мягкой при приложении давления.

Таким образом, чтобы надуть воздушный шар в нормальном состоянии, нам сначала нужно приложить большее давление. Когда он расширяется, давление внутри увеличивается, что снижает эластичность резины, что облегчает ее дальнейшее выдувание.

Эластичность материала определяется как тенденция твердого материала возвращаться к своей первоначальной форме после деформации.

Мы заметили, что когда воздушный шар лопается, его кусочки охлаждаются. Это обратный эффект: когда давление внутри резко снижается, он поглощает комнатную температуру и сохраняет свою эластичность.

На самом деле это зависит от материала воздушного шара. Если шар сделан из менее эластичного материала, то его будет еще труднее надуть даже после небольшого надувания, потому что он очень рано достигнет предела эластичности, что может быть не так в случае более эластичных шаров.

Интуитивно вы можете думать об этом так:

Давление измеряется как сила/площадь, например, фунты на квадратный дюйм (PSI) или ньютоны на квадратный метр (Паскали). Первоначально площадь поверхности внутри сдутого воздушного шара мала, а это означает, что для его надувания потребуется большее давление. Как только вы начинаете надувать воздушный шар, площадь поверхности внутри становится все больше и больше. Это означает, что для его надувания потребуется меньшее давление, даже если воздушный шар сопротивляется с большей силой при растяжении.