Надувание воздушного шара (сопротивление расширению)

Я делаю быстрый расчет того, как рассчитать давление, необходимое для надувания идеально сферического воздушного шара до определенного объема, однако у меня возникают трудности с тем фактом, что воздушный шар (резина) имеет сопротивление растяжению и как это влияет на необходимое давление. Я думаю, это связано с модулем упругости материала, но я не могу придумать, как правильно его рассчитать?

Ответы (3)

Полный тензор напряжений, хотя и точен, в значительной степени не нужен для решения этой проблемы, поскольку это тонкостенный сосуд высокого давления .

Предполагая, что воздушный шар имеет сферическую форму, деформацию можно просто рассчитать по текущему и начальному радиусам.

ϵ знак равно р р 0 − 1

Напряжение можно найти с помощью модуля упругости:

о знак равно Е ϵ

Уравнение давления тонкой стенки может привести к давлению, если вы знаете толщину, уравновешивая внешнее давление внутри с внутренним напряжением вдоль большого круга сферы:

π р 2 п знак равно 2 π р о т
п знак равно 2 о т р

Поскольку воздушные шары становятся тоньше по мере их растяжения, толщина на самом деле будет варьироваться. Каучук обычно имеет коэффициент Пуассона 0,5, что означает, что он сохраняет постоянный объем при деформации. Затем мы можем рассчитать толщину с точки зрения радиуса:

т р 2 знак равно т 0 р 0 2
т знак равно т 0 ( р 0 р ) 2

Соединяем их все вместе:

п знак равно 2 Е ( р − р 0 ) т 0 р 0 р 3

Чтобы увидеть, как это выглядит, мы можем сделать общий график:

График зависимости давления от радиуса воздушного шара

Как видите, есть максимальное давление, после которого надувать баллон становится все легче и легче. Мы можем найти это максимальное давление, приравняв производную к нулю, найдя r и подставив обратно:

0 знак равно г п г р знак равно 2 Е т 0 р 0 ( 1 р 3 − 3 р − р 0 р 4 )

р знак равно 3 2 р 0

п м а Икс знак равно 8 Е т 0 27 р 0

Конечно, это предполагает постоянный модуль упругости, который никогда не выполняется при достаточно большой деформации.

Чего вам не хватает, так это того, что п знак равно ∫ т ⋅ н ^ г А , куда т является тензором напряжений. Я предлагаю вам ознакомиться с книгой Ландау «Теория упругости». Он решает задачу полого шара с разным давлением.

Общий график выше имеет некоторую экспериментальную проверку на https://www.youtube.com/watch?v=fwh-i0WB_bQ . скриншот результатов в конце видеоЖаль, что они не измерили радиус воздушного шара, но если предположить постоянную скорость расширения, форма графика, построенного в зависимости от времени, должна быть аналогичной. Действительно, он ясно показывает начальное максимальное давление, которое, как показано выше, вызвано малым радиусом кривизны поверхности баллона, за которым следует уменьшение до примерно постоянного по мере увеличения радиуса кривизны. Отклонение от предположения о постоянном модуле упругости приводит к тому, что давление снова начинает расти.

Надувание воздушного шара (сопротивление расширению)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v