Почему при доказательстве триггерных тождеств нужно работать с обеими сторонами независимо?

Question

Почему при доказательстве триггерных тождеств нужно работать с обеими сторонами независимо?

обучение
Математика
тригонометрия
корректура

Орд

Предположим, что вам нужно доказать триггерную идентичность:

\frac{грех θ - {грех}^{3} θ}{{потому что}^{2} θ} "=" грех θ

$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}=\sin\theta$

Мне всегда говорили, что я должен манипулировать левой и правой частями уравнения по отдельности, пока я не преобразую каждую из них во что-то идентичное. Итак, я бы сделал:

\frac{грех θ - {грех}^{3} θ}{{потому что}^{2} θ}

$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}$

"=" \frac{грех θ (1 - {грех}^{2} θ)}{{потому что}^{2} θ}

$=\frac{\sin\theta(1 - \sin^2\theta)}{\cos^2\theta}$

"=" \frac{грех θ ({потому что}^{2} θ)}{{потому что}^{2} θ}

$=\frac{\sin\theta(\cos^2\theta)}{\cos^2\theta}$

"=" грех θ

$=\sin\theta$

И затем, поскольку левая сторона равна правой стороне, я доказал тождество. Моя проблема: почему я не могу манипулировать всем уравнением? В этой ситуации это, вероятно, не упростит ситуацию, но для некоторых тождеств я вижу способы «доказать» тождество, манипулируя всем уравнением, но не могу доказать это, оставляя обе стороны изолированными.

Я понимаю, конечно, что я не могу просто предположить, что личность верна. Если я приму ложное утверждение, а затем выведу из него истинное утверждение, я все равно не докажу исходное утверждение. Однако , почему я не могу сделать это:

\frac{грех θ - {грех}^{3} θ}{{потому что}^{2} θ} \neq грех θ

$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}\not=\sin\theta$

грех θ - {грех}^{3} θ \neq (грех θ) ({потому что}^{2} θ)

$\sin\theta - \sin^3\theta\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$

грех θ (1 - {грех}^{2} θ) \neq (грех θ) ({потому что}^{2} θ)

$\sin\theta(1 - \sin^2\theta)\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$

(грех θ) ({потому что}^{2} θ) \neq (грех θ) ({потому что}^{2} θ)

$(\sin\theta)(\cos^2\theta)\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$

Поскольку последнее утверждение заведомо ложно, не является ли это доказательством от противного, что первое утверждение ложно и, следовательно, тождество истинно?

Или почему я не могу взять уравнение тождества, манипулировать им и получить $(\sin\theta)(\cos^2\theta)=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$ , а затем действуйте в обратном порядке , чтобы получить идентификатор триггера. Теперь я начну с утверждения, которое очевидно истинно, и выведу другое утверждение (тождество), которое также должно быть истинным — разве это не правильно?

Другой аргумент, который я слышал в пользу изоляции двух сторон, заключается в том, что манипулирование уравнением позволяет вам делать вещи, которые не всегда верны в каждом случае. Но то же самое верно и при манипулировании только одной частью уравнения. В моем первом доказательстве шаг

\frac{грех θ ({потому что}^{2} θ)}{{потому что}^{2} θ}

$\frac{\sin\theta(\cos^2\theta)}{\cos^2\theta}$

"=" грех θ

$=\sin\theta$

недействителен, когда тета $\pi/2$ , например, потому что тогда это представляет собой деление на ноль.

Джон

Основная причина может быть просто педагогической: более увлекательно и познавательно работать с двумя сторонами независимо друг от друга.

Артуро Магидин

Еще одна причина заключается в том, что нужно быть осторожным при работе с обеими сторонами. Если вы пришли к ложному утверждению, это не проблема (вы сделали доказательство от противного); но если вы пришли к истинному утверждению, вам нужно убедиться, что все шаги обратимы . Это то, что многие люди не осознают и/или забывают. Вместо того, чтобы вызвать ошибку...

Андре Николя

Вы можете потерять контроль над логикой ситуации. Даже если вы этого не сделаете и напишете совершенно правильное рассуждение, существует серьезный риск того, что оценщик сочтет его (ошибочно) неверным.

Ответы (6)

Почему при доказательстве триггерных тождеств нужно работать с обеими сторонами независимо?

Основная причина может быть просто педагогической: более увлекательно и познавательно работать с двумя сторонами независимо друг от друга.
Еще одна причина заключается в том, что нужно быть осторожным при работе с обеими сторонами. Если вы пришли к ложному утверждению, это не проблема (вы сделали доказательство от противного); но если вы пришли к истинному утверждению, вам нужно убедиться, что все шаги обратимы . Это то, что многие люди не осознают и/или забывают. Вместо того, чтобы вызвать ошибку...
Вы можете потерять контроль над логикой ситуации. Даже если вы этого не сделаете и напишете совершенно правильное рассуждение, существует серьезный риск того, что оценщик сочтет его (ошибочно) неверным.

Америко Таварес · Answer 1

Почему я не могу манипулировать всем уравнением?

Ты можешь. Аналитический метод подтверждения личности состоит в том, чтобы начать с личности, которую вы хотите доказать, в данном случае

\begin{matrix} (1) & \frac{грех θ - {грех}^{3} θ}{{потому что}^{2} θ} "=" грех θ, потому что θ \neq 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\sin \theta -\sin ^{3}\theta }{\cos ^{2}\theta }=\sin \theta,\qquad \cos \theta \neq 0 \tag{1} \end{equation}$ и установить последовательность тождеств, чтобы каждое было следствием следующего. Для личности

(1)

$(1)$ чтобы быть правдой, достаточно, чтобы выполнялось следующее

\begin{matrix} (2) & грех θ - {грех}^{3} θ "=" грех θ {потому что}^{2} θ \end{matrix}

$\begin{equation} \sin \theta -\sin ^{3}\theta =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{2} \end{equation}$ или этот аналог

\begin{matrix} (3) & грех θ (1 - {грех}^{2} θ) "=" грех θ {потому что}^{2} θ \end{matrix}

$\begin{equation} \sin \theta \left( 1-\sin ^{2}\theta \right) =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{3} \end{equation}$ или, наконец, этот последний

\begin{matrix} (4) & грех θ {потому что}^{2} θ "=" грех θ {потому что}^{2} θ \end{matrix}

$\begin{equation} \sin \theta \cos ^{2}\theta =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{4} \end{equation}$

С $(4)$ правда так и есть $(1)$ .

В указанной ниже книге этот метод иллюстрируется следующим тождеством

\frac{1 + грех а}{потому что а} "=" \frac{потому что а}{1 - грех а} а \neq (2 к + 1) \frac{π}{2}

$\frac{1+\sin a}{\cos a}=\frac{\cos a}{1-\sin a}\qquad a\neq (2k+1)\frac{\pi }{2}$

Достаточно, чтобы выполнялось следующее

(1 + грех а) (1 - грех а) "=" потому что а потому что а

$(1+\sin a)(1-\sin a)=\cos a\cos a$

или

1 - {грех}^{2} а "=" {потому что}^{2} а,

$1-\sin ^{2}a=\cos ^{2}a,$

что верно, если

1 "=" {потому что}^{2} а + {грех}^{2} а

$1=\cos ^{2}a+\sin ^{2}a$

правда. Поскольку это было доказано, все предыдущие тождества остаются в силе, как и первое тождество.

введите описание изображения здесь

Ссылка: J. Calado, Compêndio de Trigonometria , Empresa Literária Fluminense, Lisbon, pp. 90-91, 1967.

По крайней мере, для меня "...каждый является следствием следующего". трудно правильно прочитать — на первый взгляд кажется, что $(1)\implies(2)$ , когда на самом деле говорится $(2)\implies(1)$ — так что мне пришлось перечитать ваш ответ несколько раз, чтобы убедить себя, что я неправильно его понял и что то, что вы сказали, было на самом деле правильным. Трудности с пониманием направления импликации (как символически, так и в типах «А, если Б»/«А, когда Б»/«А, только если Б») — вот почему я бы посоветовал ученику написать $(4)\implies(3)\implies(2)\implies(1)$ , даже если они добрались до своего доказательства, работая от (1) до (2), затем (3) и (4).
(Кроме того, я отредактировал изображения страниц книги, чтобы осветлить фон, затемнить текст и уменьшить размер файла — не стесняйтесь вернуться, если вам не нравятся мои отредактированные изображения.)
@Isaac: Предложение «каждое является следствием следующего » является прямым переводом «... cada uma seja uma consequência da seguinte » во 2-м. параграф. Как вы написали, правильная последовательность последствий такова $(4)\Rightarrow (3)\Rightarrow (2)\Rightarrow (1)$ . Спасибо.
Спасибо, пример реального доказательства был очень полезен!

Исаак · Answer 2

Вы неплохо ориентируетесь в ситуации. Дело не столько в том, что вы не можете манипулировать потенциальной идентичностью как в уравнении, сколько в том, что в целом большинству людей не следует манипулировать потенциальной идентичностью как уравнением. Ключевая часть заключается в том, что вы сказали: используйте манипуляцию, чтобы прийти к истинному утверждению (это ваша черновая работа), затем действуйте в обратном направлении , чтобы написать доказательство: начиная с истинного утверждения и приходя к тождеству.

В вашем последнем примере, поскольку $\cos\theta$ находится в знаменателе, $\theta=\frac{\pi}{2}$ не будет в домене удостоверения личности, так что можно упростить до $\sin\theta$ .

Стив Кокс · Answer 3

Стив Кокс

Докажите тождество триггера "LHS = RHS" Дано: LHS Цель: RHS (или наоборот) Причина, по которой нельзя работать с обеими сторонами одновременно (перекрестное умножение и т. д.), заключается в том, что вам не дано " LHS = RHS", так что никакого уравнения не будет, пока вы не докажете идентичность триггера. Допустимо ли использовать уравнение «LHS = RHS» для доказательства тождества триггера «LHS = RHS»? Стив

Ной Стейн

Для любого

L

$L$ и

R

$R$ , уравнение

L (θ) = R (θ)

$L(\theta) = R(\theta)$ либо истинно, либо ложно для каждого значения

θ

$\theta$ . Ваша цель в подтверждении личности состоит в том, чтобы доказать, что набор решений состоит из всех

θ \in R

$\theta\in\mathbb{R}$ . В этом смысле задача подобна любой задаче по алгебре. Вы можете приступить к решению уравнения, применяя любые преобразования, которые не добавляют решений.

Ной Стейн

Вы также можете применить преобразования, которые априори могут добавить решения, если вы убедитесь, что в данном случае они этого не делают. Например, вы можете умножить обе части на

\sin (θ)

$\sin(\theta)$ и работать над

L (θ) \sin (θ) = R (θ) \sin (θ)

$L(\theta)\sin(\theta) = R(\theta)\sin(\theta)$ пока вы отдельно подтверждаете, что

L (θ) = R (θ)

$L(\theta) = R(\theta)$ в любое время

θ \in π Z

$\theta\in\pi\mathbb{Z}$ .

Сайел Али · Answer 4

Я полностью согласен с Ноем Штейном. Я просто хочу уточнить/добавить следующее:

Предположим, что личность, которую вы пытаетесь показать, $L(\theta)=R(\theta)$ и это не определено в $\theta\in\left\{k\pi\,:\,k\in\Bbb Z\right\}$ потому что $\sin(\theta)$ в знаменателе $L(\theta)$ или $R(\theta)$ или оба. Затем вы можете манипулировать им как уравнением, умножая обе части на $\sin(\theta)$ . Предположим, после нескольких других манипуляций/преобразований, не требующих дальнейшего умножения на переменную, вы пришли к $\cos(\theta)=\cos(\theta)$ . Тогда тождество доказано для всех $\theta\ne k\pi$ который является наибольшим возможным набором, на котором $L(\theta)$ и $R(\theta)$ определены. Таким образом, вы доказали, что это тождество.

Фейсал Хуссейн · Answer 5

В соответствии с определением «тождество — это отношение, истинное для всех значений x», поэтому, когда мы манипулируем тригонометрическим тождеством так же, как тригонометрические уравнения пытаются найти углы, мы получаем истинное отношение, такое как 0 = 0, независимое от угла означает, что отношение является тождеством.

Ревати · Answer 6

Я думаю, что это можно сделать. Мы доказываем, что LHS = RHS, поскольку, допуская это, вы приходите к универсальной истине.

Точно так же, предполагая, что это неверно, мы приходим к противоречию, которое называется доказательством от противного.

Вы не можете доказать, что «LHS = RHS», «приняв это». Кроме того, "универсальная истина" не очень подходит для этого форума, а больше для философского.

Почему при доказательстве триггерных тождеств нужно работать с обеими сторонами независимо?

Орд

Джон

Артуро Магидин

Андре Николя

Ответы (6)

Америко Таварес

Исаак

Исаак

Америко Таварес

Орд

Исаак

Стив Кокс

Ной Стейн

Ной Стейн

Сайел Али

Фейсал Хуссейн

Ревати

Бобсон Дагнатт

Это допустимый способ доказать/показать это утверждение?

Если 2−cos2θ=3sinθcosθ2−cos2⁡θ=3sin⁡θcos⁡θ2−\cos^2θ=3\sinθ\cosθ, то sinθ≠cosθsin⁡θ≠cos⁡θ\sin\theta\neq\cos\theta, тогда tanθtan⁡ θ\тангенс\тета - это...

Дополнительные решения при решении sinθ+cosθ=2sin2θ−−−−−−√sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡2θ\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2\sin2\theta}

Интуитивное понимание производных sinxsin⁡x\sin x и cosxcos⁡x\cos x

Есть ли естественный способ доказать, что тригонометрические тождества справедливы и для комплексных чисел?

Найдите производную от cos(x2+1)cos⁡(x2+1)\cos(x^2+1) по первому принципу производной.

Задача механики о поршне с вращательным движением.

Является ли плохим математическим стилем использование одного и того же символа индекса в разных индексированных объектах?

Условия для реальных и комплексных внутренних пространств произведений

Можно ли использовать это предложение для доказательства утверждения тогда и только тогда?