Граничные условия в магнитостатике - Расчет поверхностной плотности тока

Question

Граничные условия в магнитостатике - Расчет поверхностной плотности тока

ЛАПЕМАГ

Я работаю над моделированием методом конечных элементов магнитостатического магнитного векторного потенциала в 3D со следующей геометрией: .

Внутренняя структура представляет собой токовый контур прямоугольной формы с полым сердечником. Внешняя рамка представляет собой пространственную область, примерно в 10 раз превышающую характеристический масштаб проблемы. В результате я ожидаю, что магнитный поток будет полностью заключен внутри этого ящика. Мое уравнение, которое нужно решить, представляет собой векторное уравнение Пуассона в 3D:

\nabla^{2} \vec{А} "=" - мю \vec{Дж}

$\nabla^2\vec A=-\mu\vec J$

Тогда мой вопрос касается граничных условий на гранях. Для граней 11-16 (внешний ящик) я выбираю нулевые условия Дирихле, которые соответствуют упомянутому приближению с включением потока.

Грани 1-10, т.е. грани моей катушки, в которых я не уверен. Предполагая , что A не расходится, я ожидаю, что магнитный векторный потенциал будет непрерывным по всей границе, но я также ожидаю, что нормальная производная A будет прерывистой по поверхностной плотности тока K (DJ Griffiths (1999), «Introduction to Electrodynamics», Upper Седл-Ривер, Нью-Джерси, Прентис-холл). Это соответствует тангенциальному разрыву магнитного потока из-за некоторого K . Однако, когда я работаю с литературой, я заметил, что многие статьи, похоже, игнорируют этот компонент и просто требуют, чтобы A было непрерывным, например:

N. Demerdash, T. Nehl and F. Fouad, "Finite element formulation and analysis of three dimensional magnetic field problems," in IEEE Transactions on Magnetics, vol. 16, no. 5, pp. 1092-1094, September 1980. doi: 10.1109/TMAG.1980.1060817

N. A. Demerdash, F. A. Fouad, T. W. Nehl and O. A. Mohammed, "Three Dimensional Finite Element Vector Potential Formulation of Magnetic Fields in Electrical Apparatus," in IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-100, no. 8, pp. 4104-4111, Aug. 1981. doi: 10.1109/TPAS.1981.317005

Часть, в которой я не уверен, заключается в том, как найти поверхностную плотность тока (при условии, что это важно). Я знаю, что для моей катушки прямоугольного сечения с высотой обмотки z , внутренней длиной L_i , внешней длиной L_o с N витками, по которым течет ток I , средняя плотность тока через секцию обмотки составляет: $j_{0} = \frac{IN}{z(L_{o} - L_{i})/2}$ .

Я также знаю, что поверхностная плотность тока также может варьироваться в зависимости от моих лиц в соответствии с геометрией.

Ответы (1)

Граничные условия в магнитостатике - Расчет поверхностной плотности тока

гипортнекс · Answer 1

В общем случае граничные условия для векторного потенциала можно вывести из определяющего уравнения

\begin{aligned} (1) & с ты р л ЧАС & "=" Дж \\ (2) & г я в Б & "=" 0 \\ (3) & Б & "=" мю ЧАС \\ (4) & Б & "=" с ты р л А \\ (5) & г я в А & "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{curl}\mathbf{H} &= \mathbf{J} \tag{1} \label{1}\\ \mathrm{div}\mathbf{B} &= 0 \tag{2}\label{2} \\ \mathbf{B}&=\mu\mathbf{H} \tag{3} \label{3}\\ \mathbf{B}&=\mathrm{curl}\mathbf{A} \tag{4} \label{4}\\ \mathrm{div}\mathbf{A} &= 0 \tag{5}\label{5} \\ \end{align}$ Здесь

(1), (2)

$\eqref{1},\eqref{2}$ - статические уравнения Максвелла,

(3)

$\eqref{3}$ предполагает, что материал не имеет гистерезиса; Уравнение

(4)

$\eqref{4}$ решает

(2)

$\eqref{2}$ ,и наконец

(5)

$\eqref{5}$ — кулоновская калибровка, фиксирующая неизбежный произвол векторного потенциала в

(4)

$\eqref{4}$ .

Граничные условия между двумя материалами, индексированные $1$ и $2$ теперь можно получить, используя векторный потенциал в уравнениях $\eqref{1}, \eqref{3}$ то есть:

\begin{aligned} (6) & с ты р л ({мю}^{- 1} с ты р л А) & "=" Дж \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{curl}(\mu^{-1}\mathbf{\mathrm{curl}\mathbf{A}}) &= \mathbf{J} \tag{6} \label{6}\\ \end{align}$ От

d i v A = 0

$\mathrm{div}\mathbf{A} = 0$ и векторный потенциал, имеющий конечную

c u r l

$\mathrm{curl}$ везде векторный потенциал тоже должен быть непрерывен везде, даже на разрывной границе тоже, то есть на границе

\begin{matrix} (7) & А_{1} "=" А_{2} \end{matrix}

$\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2 \tag{7}\label{7}$

Следующее использование $\eqref{6}$ в областях, где плотность свободного тока равна нулю, например, внутри и на поверхности феррита, а также вне его, получается, что тангенциальная составляющая $H$ поле непрерывно, т. $H_t^1=H_t^2$ или эквивалентно $\mathbf{n}\times \mathbf{H}_1=\mathbf{n}\times \mathbf{H}_2$ где $\mathbf{n}$ — локальная нормаль на разрыве. При записи в терминах векторного потенциала это дает

\begin{matrix} (8) & \frac{1}{{мю}_{1}} н \times {с ты р л А}_{1} "=" \frac{1}{{мю}_{2}} н \times {с ты р л А}_{2} \end{matrix}

$\frac{1}{\mu_1}\mathbf{n}\times\mathbf{\mathrm{curl}\mathbf{A}}_1=\frac{1}{\mu_2}\mathbf{n}\times\mathbf{\mathrm{curl}\mathbf{A}}_2 \tag{8}\label{8}$

И, наконец, сама калибровка непрерывна. Итак, в магнитном материале мы имеем

\begin{matrix} (9) & г я в г р а г А "=" 0 \end{matrix}

$\mathrm{\mathbf{div}}\mathrm{\mathbf{grad}}\mathbf{A}=0 \tag{9}\label{9}$ откуда следует, что на интерфейсе

\begin{matrix} (10) & н \cdot г р а г (н \cdot А_{1}) "=" н \cdot г р а г (н \cdot А_{2}) \end{matrix}

$\mathbf{n}\cdot\mathrm{grad}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{A}_1) = \mathbf{n}\cdot\mathrm{grad}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{A}_2) \tag{10}\label{10}$

Резюмируя: граничные условия для векторного потенциала на границе раздела материалов с разрывной проницаемостью таковы: $\eqref{7}, \eqref{8}, \eqref{10}$

Граничные условия в магнитостатике - Расчет поверхностной плотности тока

ЛАПЕМАГ

Ответы (1)

гипортнекс

Можно ли применить закон Ампера к бесконечному числу чередующихся катушек Гельмгольца?

Как найти магнитное поле как функцию rrr от оси соленоида?

Изменение полярности магнита для увеличения/уменьшения вихревых токов?

Что такое вектор намагниченности и как его вычислить?

Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?

Граничные условия установившегося тока

Справедливость закона Ампера с точки зрения HHH

Справка по правилу правой руки: часть 1

Почему поле соленоида выглядит так?

Расчет магнитного поля вокруг провода с током произвольной длины с использованием уравнений Максвелла.