TL:DR последняя строка.

Фадж действительно знал, где прячется Сириус, или имел подсказку.

— Дементоры уже должны были прибыть, — сказал он. «Я пойду и встречусь с ними. Дамблдор, увидимся наверху».

Мы знаем, что Дамблдор имеет большую власть над Хогвартсом, которую можно определить следующим образом:

«Вы имеете право уволить моих учителей. Однако у вас нет полномочий изгонять их с территории. Это право остается за директором школы». - Дамблдор к Амбридж

Также кажется, что у Дамблдора намного больше власти из-за последнего предложения. Достаточно предыстории.

В то время Фадж все еще очень любил Дамблдора, а также помогал ему в качестве министра магии в первые годы его жизни. В связи с этим, я считаю, что Фадж доверил бы Дамблдору такую ​​важную роль, как директор замка.

Имея титул Дамблдора, он один должен знать самое безопасное место в Хогвартсе (которое, я полагаю, думал Фадж), и, поскольку это был кабинет профессора Чары, он был бы исключительно безопасным и защищенным чарами .

Учитывая, что Дамблдор поверил показаниям Гарри и Гермионы, он имел бы полную власть над безопасностью комнаты, что позволило бы им с легкостью вырвать Сириуса.

— Но ты нам веришь. - Гарри или Гермиона

— Да, знаю, — тихо сказал Дамблдор.

Я полагаю, что все сводится к тому, что это замок Дамблдора, и он пользуется доверием Фаджа, чтобы разместить Сириуса там, где Дамблдор сочтет нужным.

Потому что Дамблдор хотел, чтобы его спасли . У меня нет своих книг под рукой, и я добавлю цитаты позже.

Дамблдор знал, что Сириус невиновен. Поэтому он поместил его в доступное место и велел Гарри и Гермионе спасти его.

Дамблдор хотел, чтобы Сириус был освобожден.

Дамблдор явно не хотел бы, чтобы Сириуса держали взаперти особенно надежно. Он хотел, чтобы Гарри и Гермиона освободили Сириуса. Дамблдор рассказал им, где именно найти Сириуса, и сказал Гермионе использовать Маховик времени, чтобы вернуться и освободить его.

— Теперь обратите внимание, — сказал Дамблдор очень тихо и очень четко. «Сириус заперт в кабинете профессора Флитвика на седьмом этаже. Тринадцатое окно справа от Западной башни. Если все пойдет хорошо, сегодня вы сможете спасти не одну невинную жизнь. Но помните об этом, вы оба. Вас не должны видеть. Мисс Грейнджер, вы знаете закон — вы знаете, что поставлено на карту… вы — не должны — быть — замеченными .
_{^{- Гарри Поттер и узник Азкабана, глава 21 (Секрет Гермионы)}}

Поскольку он активно планировал освобождение Сириуса, для него было бы контрпродуктивно гарантировать, что Сириус будет находиться в комнате, доступ к которой будет затруднен.