Под водой быстрее спускаться без воздуха или вверх с воздухом?

Мне нравится ответ Джерри Ширмера , но я был обеспокоен тем, что вместо того, чтобы моделировать ваше плавание так быстро, как вы можете, как постоянную силу, я подумал, что было бы интересно рассмотреть плавание так быстро, как вы можете, как постоянную силу. Это кажется мне более логичным, так как если вы действительно пытаетесь двигаться так быстро, как можете, вы будете ограничены тем, насколько усердно вы работаете, как быстро вы размахиваете руками, сколько силы вы, как человек, можете передать.

Так как у нас это$P = \vec F \cdot \vec v$, у нас есть:

$$( c v_{\pm}^2 \mp \beta ) v_{\pm} = P$$ где $v_{\pm}$наша скорость увеличивается и уменьшается соответственно, $P$наша выходная мощность, когда мы плывем изо всех сил, $c = \frac 12 C_D \rho_w A$это сопротивление, и $$\beta = ( \rho_w - \rho_h ) V g$$ - это ваша чистая выталкивающая сила в воде, установленная на положительное значение, когда вы плаваете.

Время, необходимое вам для совершения путешествия, равно

$$t = \frac{D}{v_+} + \frac{D}{v_-}$$ где $D$глубина, на которой ты плаваешь

Чтобы немного упростить это и увидеть общность ответа, давайте все обезразмерим, напишем

$$v = v_0 \nu = \left( \frac{P}{c} \right)^{1/3} \nu$$ где $\nu$будет наша безразмерная скорость, а $v_0 = (P/c)^{1/3}$- некоторая характеристическая скорость, здесь выбранная скорость была бы, если бы у нас не было результирующей силы плавучести (т.е. $\beta = 0$).

Мы обезразмерим наше время как

$$t = t_0 \tau = \left( \frac{ 2 D }{ v_0 } \right) \tau$$ где $t_0 = 2D/v_0$- время прохождения в случае нулевой чистой плавучести.

Используя их для упрощения наших уравнений, мы получаем

$$( \nu_{\pm}^3 \mp \alpha ) \nu_{\pm} = 1$$ $$\tau = \frac 12 \left( \frac 1 v_{+} + \frac 1 v_{-} \right)$$ $$\alpha = (\rho_w - \rho_h) V g v_0 / P$$ Обратите внимание, насколько простым стало наше выражение, у нас есть безразмерное время, в конечном итоге представленное только одним безразмерным параметром ( $\alpha$), который сам по себе просто измеряет отношение мощности, потребляемой чистым вкладом плавучести, к нашей плавательной способности. Это позволяет нам построить все возможные решения для всех вариантов параметров:

Обратите внимание, что у нас по-прежнему есть свойство, согласно которому наше минимальное время прохождения возникает в случае, когда мы обладаем нейтральной плавучестью, и если мы хотим либо всплыть, либо утонуть, это вызовет увеличение нашего времени прохождения, но обратите внимание также, что это частичное увеличение нашей плавучести время прохождения мало даже при больших значениях$\alpha$.

Наконец, я попытался оценить конкретное значение$\alpha$для людей с полными легкими и без них. я взял$\rho_h = 985 \text{ kg/m}^3$,$V = 66 \text{ L}$для среднего объема человеческого тела , но$2 \text{ L}$больше, когда ваши легкие наполнены воздухом, так как это, по-видимому, средняя жизненная емкость легких человека, и$P=100 \text{ W}$за достойные усилия. Они соответствуют двум пунктирным линиям.

Это дает

$$\alpha_{\text{empty lungs}} = 0.16 \quad \alpha_{\text{full lungs}} = 0.17$$ $$\tau_{\text{empty lungs}} = 1.0028 \qquad \tau_{\text{full lungs}} = 1.0032$$ Таким образом, хотя технически, чтобы ваши легкие были наполнены, требуется в 1,0032 раза больше времени, чем если бы вы находились в нейтральной плавучести (в этой модели), а для того, чтобы ваши легкие были пустыми, потребовалось бы только 1,0028, оба эти числа едва ли отличимы от 1,0, и их разница друг от друга вряд ли заслуживает доверия, учитывая предполагаемую точность этой модели. Но мне показалось интересным, что модель плавания с постоянной мощностью, которую я считаю более реалистичной, дает ответ, который зависит только от безразмерного отношения чистого вклада плавучести в вашу выходную мощность. В оптимальном случае он имеет нейтральную плавучесть. И это имеет то, что даже для больших значений $\alpha$, время в пути почти не влияет.

Итак, мой совет: берите столько воздуха, сколько хотите.

Не повторяя математику ответа @alemi, давайте просто подумаем еще об одном:

Плавучесть зависит от глубины, то есть, когда вы опускаетесь, ваши легкие сжимаются, и ваша плавучесть уменьшается, а затем становится отрицательной (в зависимости от содержания жира в вашем теле — если у вас достаточно жира, вы сохраняете положительную плавучесть на любой глубине, так как вы не нужно легкого объема, чтобы сделать вас таким).

Теперь, если вы хотите нырнуть глубоко (а не просто быстро ), обязательно сделайте глубокий вдох (но не гипервентиляцию — это может привести к потере сознания и смерти) и задержите дыхание. Почему? Потому что ваши мышцы будут все больше уставать по мере погружения; и вы хотите получить наибольшую помощь в конце погружения (возвращении на поверхность).

Вторая причина: ваше тело выделяет определенное количество углекислого газа в единицу времени (больше при физической нагрузке). Чем больше объем воздуха в легких, тем медленнее$CO_2$нарастает концентрация. И именно концентрация вызывает у тела рефлекс хватать ртом воздух.

Когда речь идет просто о скорости, вы все равно хотите быть нейтрально плавучим (согласно ответу @alemi) - поэтому вам нужно определить для вашего состава тела, требуется ли для этого глубокий или поверхностный вдох. Но, судя по моему опыту дайвера, приведенные выше аргументы перевешивают вопрос о скорости — вы можете работать намного лучше, если будете двигаться медленно и экономить кислород.

В этом случае, плавая на поверхности, а затем поднимая ноги над поверхностью, когда вы направляете свое тело вниз, вы получаете очень хороший толчок ко дну. Иногда люди хватаются за камень, чтобы облегчить себе спуск, и оставляют его на дне, когда готовы подняться. 2,5 метра - это не так уж и много. Фридайверы обычно могут погружаться на 30 м (мировой рекорд почти в три раза больше - см. http://www.herbertnitsch.com/ ). Это требует серьезной практики и некоторого специального оборудования... не то, что я бы рекомендовал вам делать без профессиональной подготовки.

ОБНОВЛЕНИЕ относительно математики плавучести. Средний общий объем легких человека (при максимальном вдохе) составляет около 6 л — обратите внимание, что Герберт Нич, рекордсмен по фридайвингу, имеет «емкость» 10 л и ухищрения расширяет свои легкие до 15. Но давайте придерживаться «среднего» .

На глубине$d$, плавучесть за счет объема V_a (объем легких при 1 атм) в воде плотностью$\rho_w$является

$$F_b = \frac{V_a * \rho_w}{1 + d*g*\rho_w*10^{-5}}$$

Для легкого объемом 6 л на глубине 2,5 м объем уменьшается до $\frac{6}{1+0,245} = 4,8 л, поэтому сила уменьшается на 11,6 Н.

Очевидный вопрос: как это соотносится с лобовым сопротивлением кузова — это важный фактор? Я нашел несколько интересных исследований в Интернете по адресу http://www.fade.up.pt/docentes/leandromachado/biomecanica/Hydrod-Drag.pdf — лекция по биомеханике, прочитанная в Университете Порту в Португалии (я полагаю, что автором был Дж. Пауло Вилас-Боаш, профессор и олимпийский тренер). Он изучал торможение тела пловца в положении «планирования» — сразу после поворота пловец отталкивается от стенки, затем замедляется перед возобновлением плавания. Анализируя замедление, можно оценить кажущуюся силу сопротивления. Воспроизведение интересной диаграммы из этого доклада:

Мне непонятно, использовал ли он здесь "настоящую" инерцию пловца (кажущаяся инерция тела в воде увеличивается за счет того, что при ускорении вода вокруг вас также ускоряется. Для сферы точная Решение может быть вычислено и говорит нам, что кажущаяся инерция равна массе сферы плюс 0,5 x масса вытесненной жидкости.

В любом случае - приблизительная сила сопротивления достигает пика в 25 Н (сразу после толчка - когда скорость самая высокая). Я ставлю под сомнение временные шкалы на графиках — кажется, они не совсем совпадают, как я ожидал, но это может быть связано со сдвигом из-за числовой дифференциации. Тем не менее, с такой силой сопротивления, я думаю, лучшая стратегия состоит в том, чтобы иметь нейтральную или отрицательную плавучесть, опускающуюся вниз, и отталкиваться от дна, чтобы вернуться наверх. толчок, с которым вам не поможет никакая плавучесть. В конце концов, ваши ноги на дне, вероятно, могут толкать около 500 Н (условно говоря, это даже не весь вес вашего тела), что намного больше, чем плавучесть. Вам будет гораздо труднее спускаться вниз (нет твердой поверхности, на которую можно было бы толкать), поэтому вам поможет отрицательная плавучесть.

Этот аргумент недействителен, когда вы пытаетесь нырнуть гораздо глубже — тогда биологический аргумент, который я приводил ранее, будет доминировать, и вам понадобится положительная плавучесть для последней части путешествия; в этом случае я бы рекомендовал стремиться к нейтральной плавучести «на полпути вниз», используя приведенное выше уравнение. Обратите внимание, что степень положительной плавучести, которую вы получите у поверхности, в этом случае будет намного больше, чем отрицательная плавучесть у дна - опять же, см. формулу, чтобы понять, почему это так.

Пример: если вы хотите нырнуть на 20 м (более серьезное расстояние), стремление к нейтральной плавучести на 10 м (2 атм) с начальным объемом легких 6 л даст вам объем «среднего погружения» 3 л. - таким образом, чистая плавучесть 30 Н у поверхности и чистая отрицательная плавучесть -15 Н на дне вашего погружения. Эти цифры только для иллюстрации...

Хорошо, давайте решим это в максимально простом приближении. Я собираюсь предположить, что вся поездка происходит с соответствующей конечной скоростью и что время ускорения очень мало. Кроме того, я собираюсь смоделировать силу сопротивления${}^{1}$воды как$F = cv^{2}$, для некоторой постоянной$c$. На пути вниз у вас есть сила сопротивления, толкающая вверх, гравитация, толкающая вниз, выталкивающая сила (B), толкающая вверх, и сила пловца (S), толкающая вниз.

Итак, у нас есть$S + mg - cv^{2} - B = 0$, что дает нам$v = \frac{1}{\sqrt{c}}\sqrt{S + mg - B}$, что затем дает нам время спуститься вниз, чтобы$h/v = \frac{h}{\sqrt{c\left(S + mg -B\right)}}$. Между тем, для обратного пути у нас есть сила сопротивления, толкающая вниз, гравитация, толкающая вниз, сила пловца, толкающая вверх, и выталкивающая сила, толкающая вверх. Это дает нам$S - mg - cv^{2} + B = 0$, поэтому у нас есть время вернуться как$\frac{h}{\sqrt{c\left(S - mg +B\right)}}$. Таким образом, общее время в пути$T$является:

$$T = \frac{h}{\sqrt{c\left(S + mg -B\right)}} + \frac{h}{\sqrt{c\left(S - mg +B\right)}}$$

Чтобы исследовать влияние увеличения плавучести на время в пути, мы вычисляем производную:

$$\frac{\partial T}{\partial B} = \frac{h}{2\sqrt{c}}\left(\frac{1}{\left(S +mg - B\right))^{3/2}} - \frac{1}{\left(S-mg+B\right)^{3/2}}\right)$$

Если увеличение покупательной способности сделает нас быстрее, это условие говорит нам, что второй член должен быть больше первого члена, а это означает, что его знаменатель должен быть меньше, поэтому мы имеем:

$$\begin{align}S - mg + B &< S +mg - B\\ 2B < 2mg\\ B < mg \end{align}$$

Обратите внимание, что существует также неявное предположение, что$S > |mg - B|$во всем этом. Таким образом, вдыхание большего количества воздуха заставит вас всплыть на поверхность быстрее только в том случае, если ваша выталкивающая сила меньше вашего веса, что верно только в том случае, если вы тонете в воде (не верно для большинства людей).

${}^{1}$Обратите внимание, что окончательный результат не особенно чувствителен к деталям этого. В частности, для любой функции вида меняются только константы и показатели, но не конечный результат$F_{R} = cv^{n}$для$n\geq 1$