Подчиняется ли функция отклика приближения случайных фаз (RPA) соотношениям Крамерса-Кронига?

Question

Подчиняется ли функция отклика приближения случайных фаз (RPA) соотношениям Крамерса-Кронига?

Алексей Соколик

Рассмотрим экранированное кулоновское взаимодействие в электронной жидкости, которое в приближении случайных фаз (RPA) принимает вид

В (д, ю) "=" \frac{в (д)}{1 - в (д) Π (д, ю)},

$V(q,\omega)=\frac{v(q)}{1-v(q)\Pi(q,\omega)},$ где

v (q)

$v(q)$ - неэкранированное кулоновское взаимодействие,

Π (q, ω)

$\Pi(q,\omega)$ – поляризуемость электронного газа.

Известно точное экранированное взаимодействие $V_\mathrm{exact}(q,\omega)$ подчиняется соотношениям Крамерса-Кронига

р е В_{е Икс а с т} (д, ю) "=" в (д) - \frac{1}{π} п \int г ю^{'} \frac{я м В_{е Икс а с т} (д, ю^{'})}{ю - ю^{'}},

$\mathrm{Re}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega)=v(q)-\frac1\pi\mathcal{P}\int d\omega'\frac{\mathrm{Im}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega')}{\omega-\omega'},$

я м В_{е Икс а с т} (д, ю) "=" \frac{1}{π} п \int г ю^{'} \frac{р е В_{е Икс а с т} (д, ю^{'}) - в (д)}{ю - ю^{'}} .

$\mathrm{Im}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega)=\frac1\pi\mathcal{P}\int d\omega'\frac{\mathrm{Re}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega')-v(q)}{\omega-\omega'}.$ Поляризуемость

Π (q, ω)

$\Pi(q,\omega)$ , являясь запаздывающей функцией отклика, также подчиняется аналогичным соотношениям (хотя и без

v (q)

$v(q)$ в правой части).

Взаимодействие RPA $V(q,\omega)$ подчиняются соотношениям Крамерса-Кронига? Если да, то как это можно доказать?

леонгз

Я не уверен, но думаю, что да. Форма RPA в основном является подмножеством диаграмм Фейнмана в точном случае. Каждая диаграмма Фейнмана должна удовлетворять аналитичности, требуемой соотношениями Крамерса-Кронига.

Алексей Соколик

@leongz Мы можем, например, сократить серию RPA до третьего порядка.

V = v + v Π v + v Π v Π v

$V=v+v\Pi v+v\Pi v\Pi v$ (взяв, по сути, подмножество диаграмм Фейнмана), и тогда мы получим полюса второго порядка

V

$V$ где

Π

$\Pi$ имеет первый порядок. Наличие полюсов второго порядка, вероятно, испортит требуемые аналитические свойства, не так ли?

леонгз

Я не думаю, что порядок полюсов имеет значение в отношениях Крамерса-Кронига. Пожалуйста, смотрите вывод на вики.

Ответы (1)

Подчиняется ли функция отклика приближения случайных фаз (RPA) соотношениям Крамерса-Кронига?

Я не уверен, но думаю, что да. Форма RPA в основном является подмножеством диаграмм Фейнмана в точном случае. Каждая диаграмма Фейнмана должна удовлетворять аналитичности, требуемой соотношениями Крамерса-Кронига.
@leongz Мы можем, например, сократить серию RPA до третьего порядка. $V=v+v\Pi v+v\Pi v\Pi v$ (взяв, по сути, подмножество диаграмм Фейнмана), и тогда мы получим полюса второго порядка $V$ где $\Pi$ имеет первый порядок. Наличие полюсов второго порядка, вероятно, испортит требуемые аналитические свойства, не так ли?
Я не думаю, что порядок полюсов имеет значение в отношениях Крамерса-Кронига. Пожалуйста, смотрите вывод на вики.

Эверетт Ю · Answer 1

Да. Функция реагирования RPA $V(\omega)$ по-прежнему подчиняется соотношению Крамерса-Кронига (КК), пока поляризационная функция $\Pi(\omega)$ подчиняется соотношению КК. Ключевым моментом является показать, что все полюса более высокого порядка , которые появляются в разложении RPA, могут быть сведены к первому порядку с использованием отношения КК $\Pi(\omega)$ , чтобы они не вызывали проблем.

Из соотношения КК поляризационной функции следует, что мы можем выразить $\Pi(\omega)$ как

Π (ю) "=" \int \frac{г ю^{'}}{2 π} \frac{А_{Π} (ю^{'})}{ю - ю^{'} + я 0_{+}},

$\Pi(\omega)=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+},$ где

A_{Π} (ω) \equiv - 2 ℑ Π (ω)

$A_\Pi(\omega)\equiv -2\Im\Pi(\omega)$ — спектральная функция поляризации. Тогда давайте сосредоточимся на термине

v Π (ω) v Π (ω) v

$v\Pi(\omega)v\Pi(\omega)v$ в расширении РПА. Мы хотим показать, что его полюса второго порядка на самом деле могут быть разрешены полюсами первого порядка и, следовательно, не проблематичны. Чтобы увидеть это, мы начнем с

\begin{aligned} Π (ю)^{2} & "=" \int \frac{г ю_{1}}{2 π} \frac{г ю_{2}}{2 π} \frac{А_{Π} (ю_{1})}{ю - ю_{1} + я 0_{+}} \frac{А_{Π} (ю_{2})}{ю - ю_{2} + я 0_{+}} \\ "=" \int \frac{г ю_{1}}{2 π} \frac{г ю_{2}}{2 π} (\frac{1}{ю - ю_{1} + я 0_{+}} - \frac{1}{ю - ю_{2} + я 0_{+}}) \frac{А_{Π} (ю_{1}) А_{Π} (ю_{2})}{ю_{1} - ю_{2}} \end{aligned} .

$\begin{split}\Pi(\omega)^2&=\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\omega_2}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}0_+}\frac{A_\Pi(\omega_2)}{\omega-\omega_2+\mathrm{i}0_+}\\ &=\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\omega_2}{2\pi}\Big(\frac{1}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}0_+}-\frac{1}{\omega-\omega_2+\mathrm{i}0_+}\Big)\frac{A_\Pi(\omega_1)A_\Pi(\omega_2)}{\omega_1-\omega_2}\end{split}.$ Тогда мы можем определить новую спектральную функцию

А_{Π}^{(2)} (ю) "=" 2 \int \frac{г ю^{'}}{2 π} \frac{А_{Π} (ю) А_{Π} (ю^{'})}{ю - ю^{'}} "=" 2 А_{Π} (ю) ℜ Π (ю) "=" - 4 ℑ Π (ю) ℜ Π (ю),

$A_\Pi^{(2)}(\omega)=2\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega)A_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'}=2A_\Pi(\omega)\Re\Pi(\omega)=-4\Im\Pi(\omega)\Re\Pi(\omega),$ который разрешает полюс

(ω - ω^{'})^{- 1}

$(\omega-\omega')^{-1}$ в интегранте по соотношению КК

Π (ω)

$\Pi(\omega)$ , следовательно, уменьшая общий порядок полюсов на единицу. Спектральная функция

A_{Π}^{(2)}

$A_\Pi^{(2)}$ будет таким же аналитическим, как

Π (ω)

$\Pi(\omega)$ , которая является в точности спектральной функцией

Π (ω)^{2}

$\Pi(\omega)^2$ без полюсов второго порядка:

Π (ю)^{2} "=" \int \frac{г ю^{'}}{2 π} \frac{А_{Π}^{(2)} (ю^{'})}{ю - ю^{'} + я 0_{+}} .

$\Pi(\omega)^2=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A^{(2)}_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+}.$ Следуя изложенному выше подходу, легко показать, что все члены более высокого порядка в разложении RPA имеют спектральное разрешение той же формы только с точки зрения полюсов первого порядка.

Π (ю)^{н} "=" \int \frac{г ю^{'}}{2 π} \frac{А_{Π}^{(н)} (ю^{'})}{ю - ю^{'} + я 0_{+}} .

$\Pi(\omega)^n=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A^{(n)}_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+}.$ Все спектральные функции высших порядков

A_{Π}^{(n)} (ω)

$A_\Pi^{(n)}(\omega)$ можно представить в виде полинома

ℜ Π (ω)

$\Re\Pi(\omega)$ и

ℑ Π (ω)

$\Im\Pi(\omega)$ . Так что пока

Π (ω)

$\Pi(\omega)$ подчиняется соотношению KK, все члены в расширении RPA также подчиняются соотношению KK, а также функции отклика RPA.

V (ω)

$V(\omega)$ .

Спасибо! Но я не понимаю, что вы подразумеваете под «разрешением полюса второго порядка полюсами первого порядка». Например, если $A_\Pi(\omega)=(a/\pi)/[(\omega-\omega_0)^2+a^2]$ (спектральная функция Лоренца), то $\Pi(\omega)=(1/2\pi)(\omega-\omega_0+ia)^{-1}$ , т.е. $\Pi(\omega)$ имеет полюс первого порядка в $\omega=\omega_0-ia$ , что означает наличие затухающего возбуждения. В то же время, $\Pi(\omega)=(1/2\pi)^2(\omega-\omega_0+ia)^{-2}$ все еще имеет полюс второго порядка в $\omega=\omega_0-ia$ , что можно получить либо прямым возведением в квадрат $\Pi(\omega)$ или с помощью функции $A_\Pi^{(2)}$ .

Подчиняется ли функция отклика приближения случайных фаз (RPA) соотношениям Крамерса-Кронига?

Алексей Соколик

леонгз

Алексей Соколик

леонгз

Ответы (1)

Эверетт Ю

Алексей Соколик

Действительно ли фотон не поглощается при комбинационном рассеянии?

Как получить результат эффекта Ааронова-Бома?

Приближение самосогласованного поля и приближение однородного поля?

Почему мы используем кулоновский потенциал для атома водорода?

Кинетическая индуктивность и магнитный поток

Как работает квантовая ловушка с диамагнетиками?

Использование скалярного электростатического потенциала для расчета вероятностей перехода

Существуют ли какие-либо дополнительные основы физики помимо пространства-времени, энергии, массы и заряда?

Почему диполь-дипольное взаимодействие не приводит к ферромагнитному упорядочению?

Вызывает ли гравитация разделение зарядов в проводниках?