Как получить результат эффекта Ааронова-Бома?

Сначала я установлю$e=1$для простоты.

Позволять$\psi_0$обозначим волновую функцию, удовлетворяющую свободному уравнению Шрёдингера:

$$\begin{equation} i \frac{\partial \psi_0}{\partial t} = -\frac{1}{2m}\mathbf{\nabla}^2 \psi_0 + V \psi_0 \tag{1} \end{equation}$$ Кроме того, пусть $\psi$— волновая функция, подчиняющаяся уравнению Шредингера для ненулевого векторного потенциала $\mathbf{A}$: $$\begin{equation} i \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{1}{2m}(\mathbf{\nabla}-i\mathbf{A})^2 \psi+ V \psi \tag{2} \end{equation}$$ Давайте теперь напишем: $$\begin{equation} \psi=\exp \left( i \int_{\gamma} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_0 \end{equation}$$ где $\gamma$путь из произвольной точки $\mathbf{x}_0$в какую-то другую точку $\mathbf{x}_1$. Затем мы можем написать: $$\begin{equation} \left( \mathbf{\nabla} -i \mathbf{A} \right)^2 \psi = \exp \left( i \int_{\gamma} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \mathbf{\nabla}^2 \psi_0 \end{equation}$$ Подставляя это выражение в уравнение $(2)$дает уравнение $(1)$. Это означает, что волновая функция электрически заряженной частицы, движущейся в пространстве, где $\mathbf{A} \neq 0$получит дополнительную фазу.

Мы знаем, что волновая функция в точке$Q$(см. рисунок ниже) является результатом квантовой суперпозиции, т.е. мы можем написать:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{split} \psi_{\scriptscriptstyle Q} & = \psi(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi(\mathbf{x},\gamma_2) \\& = \exp \left( i \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \\& = \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \left( \exp \left( i \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} - i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \right) \end{split} \end{aligned} \end{equation}$$ Мы можем использовать теорему Стокса о первом члене в скобках, потому что $\gamma_1-\gamma_2$это закрытый путь: $$\begin{equation} \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} - \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} = \int \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = F \end{equation}$$ где $F$- полный магнитный поток из-за соленоида через поверхность, определяемую замкнутой границей $\gamma_2-\gamma_1$. Волновая функция при $Q$теперь можно записать как: $$\begin{equation} \psi_{\scriptscriptstyle Q} = \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \left( \exp \left( i F \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \right) \end{equation}$$ Это показывает, что относительная разность фаз и, следовательно, интерференционная картина зависят от магнитного потока, создаваемого соленоидом. Это эффект Ааронова-Бома.

Чтобы упростить задачу, мы можем пренебречь членом потенциальной энергии$V(r)$, так как это просто не имеет отношения к нашему выводу. Поэтому мы записываем гамильтониан как

$$H=\frac{1}{2}(-i\partial_x-A)^2.$$ Основное состояние задается минимизацией энергии. Поскольку гамильтониан представляет собой квадрат $(-i\partial_x-A)$, поэтому минимизируется, когда $(-i\partial_x-A)=0$. Это означает, что в основном состоянии мы примерно имеем $$(-i\partial_x-A)\psi=0.$$ Если нас интересует только фазовая конфигурация волновой функции, мы можем написать $\psi\sim e^{i\phi}$, и подставьте в приведенное выше уравнение, $$(\partial_x\phi -A)e^{i\phi}=0,$$ что значит $\partial_x\phi=A$, а его решение $\phi=\int A \cdot\mathrm{d}x$.