Поднимите шарик для пинг-понга в воздухе с помощью ручки!

Вот моя количественная попытка$4.$а также$1.$:

Эффект Коанды здесь заключается в стремлении воздушного потока прилипать к поверхности мяча. Это означает, что вблизи поверхности шара линии тока искривлены с радиусом кривизны, примерно равным радиусу шара$R$; эта кривизна приводит к градиенту давления точно так же, как и в теории подъемной силы , которую я предполагаю постоянной на поверхности:

$\vec{\nabla} P = - \frac{\rho v^2}{R} \vec{e}_r$

(Как ни странно, «циркуляция» , которую аэродинамики используют для расчета подъемной силы на единицу ширины, связана с определенным интегралом этой величины по соответствующей площади поперечного сечения.)

Это указывает радиально внутрь к некоторой точке равновесия, в которой суммарные силы, действующие на мяч, уравновешиваются. На практике мяч будет висеть немного ниже этой точки из-за гравитации . Редактировать: см. ниже .

При смещении шара из этого положения по нормали к потоку на некоторое расстояние$z$, можно вычислить полную восстанавливающую силу, действующую на шар, путем интегрирования$\vec{\nabla} P$по объему шара при двух допущениях:

$1.$кривизна и равновесное положение воздушного потока при таком движении шара нарушаются незначительно и, таким образом, не зависят от$z$

$2.$чистый объем смещенного шара, относящийся к интегрированию (т. е. вносящий вклад в *не*уравновешенную силу), приблизительно равен$\pi R^2 z$, площадь поперечного сечения шара, умноженная на смещение$z$

при этих предположениях восстанавливающая сила равна

$\vec{F} = - \frac{\rho v^2}{R} \pi R^2 \vec{z} = -\pi \rho v^2 R \vec{z}$

который мы можем сразу распознать как гармонический осциллятор

$\vec{F} = -k \vec{z} = -m \omega^2 \vec{z}$

куда$m$- масса мяча, и получить собственную частоту

$\omega = v \sqrt{\frac{\pi\rho R}{m}}$.

или для более легкой для измерения частоты колебаний$\nu$с точки зрения$Q$, оценка$v = Q/A$,

$\nu = \frac{Q}{A} \sqrt{\frac{\rho R}{4 \pi m}}$

используя площадь поперечного сечения мяча для$A = \pi R^2$, потому что$v$это скорость, с которой воздух движется по поверхности мяча, а не скорость, с которой он покидает ручку.

Это предположение немного сомнительно, так как воздух на самом деле не проходит через эту область, но это единственная конечная область, имеющая отношение к проблеме. В худшем случае истинная площадь, от которой это зависит, вероятно, «средняя» площадь, через которую проходит поток в плоскости, проходящей через экватор шара, будет$A$умножить на некоторую числовую константу.

Важно отметить, что это масштабируется линейно с$Q$, поэтому дуновение в два раза сильнее приведет к колебаниям в два раза быстрее .

Международные стандарты _$R$= 20 мм и$m$= 2,7 г, поэтому я бы предположил следующую формулу:

$\nu = 0.767$м$^{-1} \frac{Q}{A}$

Используя разумные$Q$из$6$л/с, а выше$R$,

$\nu = 3.66$Гц

Что звучит довольно разумно для меня. Но опять же, линейная зависимость от$Q$важно, и для более слабых потоков это будет пропорционально медленнее.

И, наконец, мое самое раннее предположение о том, что градиент давления был постоянным на поверхности, означает, что эта формула не различает колебания, параллельные потоку, и колебания, перпендикулярные ему.

На практике известно, что внутренний градиент давления будет ниже в точках шара, которые находятся «на одной линии» с потоком, чем в тех, которые лежат дальше снаружи, поскольку линии тока изгибаются в противоположном направлении, поэтому колебания, параллельные потоку, будут меньше. имеют более низкую частоту, чем нормальные/"боковые" в целом.

PS: окончательные формулы здесь, вероятно, будут соответствовать некоему экспериментальному «коэффициенту выдумки», который можно интерпретировать как числовую константу, которая появляется в этом приближении$v \approx Q/A$: если$v = f Q/A$, тогда$f$является фактором выдумки. Но это механика жидкости, и фальшивые факторы неизбежны.

Изменить: оценка для части$1.$

Если предположить, что смещение шара под действием силы тяжести меньше одного радиуса, то можно сказать, что

$$mg < \pi \rho v^2 R^2 = \rho Q^2 / \pi R^2$$

учитывая приведенные выше определения$R$а также$Q$, или же

$Q > R \sqrt{\frac{\pi mg}{\rho}} \approx 5.77$мл/с

а также

$v > \frac{1}{R} \sqrt{\frac{mg}{\pi \rho}} \approx 4.59$РС

что намного меньше, чем$6$L/s, но все же может соответствовать тем игрушкам, которые иногда входят в рождественские крекеры. Скорость выглядит несколько более интуитивно разумной. Если они слишком малы для экспериментального поддержания, причина этого может заключаться в том, что поток слишком нестабилен, когда поддерживается человеческим дыханием.

В некоторых видеороликах амплитуда колебаний при подвешивании в потоке фена, по-видимому, может быть заметно больше одного радиуса, поэтому предположение о$z<R$может отсутствовать с коэффициентом до 5; однако, если предположить, что это сделает окончательные результаты для теоретического минимума$v$или же$Q$меньше в разы$\approx 0.44$, так что это все еще обоснованное предположение для верхней границы.

Поскольку предположения, связанные с выводом этой силы, строго применимы только к смещениям, перпендикулярным потоку, это минимальный поток, при котором мяч подвешивается горизонтально; ответ на вопрос о максимальном угле подвеса (а его может и не быть) потребовал бы более подробного описания распределения давления вокруг шара, которое вполне может быть доступно в литературе для ламинарного обтекания сферы.

Дам максимально наивную оценку, чтобы людям было что критиковать. Если предположить, что большая часть струи взаимодействует с шариком и отклоняется на значительный угол, то сила, действующая на шарик, примерно равна импульсу, протекающему через перо. В ваших единицах это$\rho_{air} Q^2/(\pi d^2)$. Говорят, что сила, поднимающая мяч в воздух, равна$1\times 10^{-2} N$, сечение вашей ручки порядка 10$mm^2$в квадрате, получаем$Q$порядка$1 L/s$.

После некоторых довольно запутанных статей в Википедии, http://en.wikipedia.org/wiki/Spirometry и http://en.wikipedia.org/wiki/Lung_capacity , кажется, что 1 л - это нормальный вдох, и мы можем сделать около 6 л/с на пике или 1 л за 6 секунд, если попробуем. Кажется, это согласуется с общепринятым опытом.

Я учусь на первом курсе физики, поэтому мой ответ может быть неудовлетворительным, но я надеюсь, что он даст некоторое представление о проблеме.

1) из того, что я знаю, нам нужно рассмотреть:

1. Перетащите - к чему я обращусь
2. Турбулентность - о которой я почти ничего не знаю, и поэтому буду игнорировать с надеждой, что кто-то сможет расширить.

нам нужно, чтобы сила сопротивления была равна или больше веса мяча.

используя формулу$F_d= \frac{1}{2} \rho v^2 C_d A$(можно найти в википедии)

мы получаем$mg = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d \pi r^2$

$\rho$приведен здесь , и$C_d$приведен здесь (хотя это зависит от скорости и должно быть измерено).

скорость:$v=\frac{Q}{\pi \frac{d^2}{4} }=\frac{4Q}{\pi d^2}$

так что мы получаем$Q= \frac{d^2}{r}\sqrt{\frac{mg\pi}{8\rho C_d}}$

поскольку не весь воздух будет способствовать подъему мяча, и поскольку поток воздуха не является постоянным, это значение Q не является минимальным, но оно должно быть где-то рядом с ним. Попробую с этим поэкспериментировать - через месяц.

2) Для этого потребуются некоторые измерения: сколько воздуха вы выдуваете за 3 секунды? какова его скорость (можно проверить с помощью воздушного шара, как вы измеряете объем легких)

4) Не уверен, но думаю, что горизонтальное смещение приведет к передемпфированию "колебаний" - из-за эффекта Бернулли.

Попробую ответить на первый вопрос.

Предположим, что в космическом корабле вода течет по круглому каналу, расстояние от дна канала до оси круглого канала равно$r$, ширина канала$b$, глубина канала$h$(глубина воды также$h$), плотность воды$ρ$, угловая скорость воды$ω$, нет вязкости, нет трения, нет натяжения воды, а давление воздуха космического корабля$p$(символ нижнего регистра).

Каково давление воды на дне канала? Как рассчитать?

Спасибо Чету Миллеру за следующие ответы:

$$P=p-ρrhω^2(1+h/2r)$$

Давление на дне канала уменьшается с увеличением$ω$. Ниже атмосферного давления (Обратите внимание, что давление воздуха в космическом корабле составляет одну атмосферу).

Если предположить, что вода течет только через верхнюю половину канала, на цилиндр будет действовать восходящая сила из-за атмосферного давления под цилиндром.

Для упрощения предположим, что мяч для настольного тенниса представляет собой цилиндр A, радиус которого равен$r$, вес А равен$w$, сечение корпуса ручки прямоугольное, ширина прямоугольника$b$, а высота$h$. Предположим, что газ течет через верхнюю полуокружность А прямоугольного сечения. Тогда восходящая сила$F$можно вычислить интегралом по формуле.

Когда$F = w$, мы можем вычислить$ω$.

Скорость$v$можно рассчитать из$ω$а также$r$

Наконец, можно рассчитать, что:

$$Q=vbh$$

Подъемная сила настольного тенниса возникает не из-за теоремы Бернулли, а из-за центробежной силы движения жидкости по кривой.

Центробежная сила жидкости заставляет поверхность настольного тенниса создавать низкое давление, а низкое давление сферы делает мяч для настольного тенниса подвешенным в воздухе.