Помимо 2-го закона термодинамики, какие законы оптики не позволяют температуре фокуса линзы быть выше температуры источника света?

"... есть ли способ показать, что из этого можно построить вечный двигатель?"

Да. Сосредоточьте лучистое тепло из термального резервуара на месте, которое, как предполагается, будет нагреваться до более высокой температуры за счет его концентрации на меньшей площади. Теперь подключите тепловую машину — двигатель Карно — между горячей точкой в ​​качестве источника тепла двигателя и первоначальным резервуаром в качестве источника тепла. Теперь двигатель будет работать, производя работу. Ваша гипотеза означает, что у вас есть система теплового двигателя, самопроизвольно преобразующая тепло в тепловом резервуаре в работу, и есть ваш вечный двигатель (так называемого второго рода ).

Обязательной в любой беседе такого рода является статья Рэндала Манро «Огонь из лунного света ».

Один из способов понять все это — заметить, что оптические системы обратимы, так что если свет может пройти из точки А на входе в точку В на выходе, свет с таким же успехом может пройти и в обратном направлении. Так, если горячее тело через систему линз направит свое лучистое тепло на другой предмет, то температура последнего, естественно, начнет повышаться. Это означает, что второе тело будет излучать обратно к первому телу. Если бы второе тело стало более горячим, чем первое, то оно отдавало бы первому большую тепловую мощность по обратным путям, откуда пришло падающее тепло. Поэтому теплообмен прекратится до того, как второе тело достигнет температуры первого.

Второй закон термодинамики в оптике эквивалентен неубыванию étendue , который представляет собой объем системы лучей, представляющих световое поле в оптическом фазовом пространстве и, таким образом, меру энтропии. Если étendue нельзя уменьшить, это означает, что нельзя увеличить плотность лучей в фазовом пространстве; в свою очередь это означает, что углы расхождения набора лучей должны увеличиваться, если площадь, через которую они проходят, уменьшается. Это означает, что свет из любой точки на горячем теле не может стать ярче в той точке, где он достигает тела-мишени.

Вот почему лазер работает по-другому, если мы попытаемся рассуждать так, как указано выше. Если энергия достигает тела через лазер, траектории падающего света имеют почти нулевой étendue — луч почти не распространяется. Второе тело будет становиться все горячее и горячее, но лучистое тепло от горячего второго тела распространяется во всех направлениях (это фундаментально для излучения абсолютно черного тела — коллимированного излучения черного тела не существует). Таким образом, почти никакая часть излучаемого света не возвращается обратно к лазеру по чрезвычайно узкому диапазону путей. Лазерный свет очень неравновесный свет - это оптический эквивалент термодинамической работы, а не тепла.

Помимо термодинамических аргументов, можно показать, что étendue очень часто сохраняется в пассивных оптических системах, используя формулировку принципа Ферма в гамильтоновой / симплектической геометрии. Я обсуждаю это более подробно в этом ответе здесь . Принцип Ферма означает, что распространение через неоднородные среды, в которых показатель преломления (независимо от того, изотропен ли материал или нет) плавно изменяется в зависимости от положения, соответствует гамильтоновым течениям в оптическом фазовом пространстве; можно показать, что зеркала, линзы и другие «резкие» преобразования, а также гладкие гамильтоновы потоки придают симплектоморфизмына состояние света в фазовом пространстве, а значит, сохраняют некоторые дифференциальные формы, в том числе и объемную. Все это означает, что объем любой системы лучей в оптическом фазовом пространстве всегда сохраняется при преобразовании лучей этими системами. Это знаменитая теорема Лиувилля .

Есть более неуклюжий, но, возможно, более доступный способ понять все это в оптике. Мы линеаризуем поведение системы относительно любого эталонного луча, проходящего через систему, и пишем матрицы, описывающие линейное преобразование всех оптических систем из строительных блоков. Может показаться, что линеаризация предполагает аппроксимацию и, таким образом, что-то не совсем верное, но повремените с этой мыслью — это не так. Это метод Ray Transfer Matrix, и эти линейные преобразования описывают воздействие системы на лучи, близкие к эталонному («главному лучу») лучу светового поля в оптическом фазовом пространстве. Эти матрицы действуют на состояние$X$луча на входной плоскости оптической подсистемы:

где$(x,\,y)$- положение во входной плоскости луча,$(\gamma_x,\,\gamma_y)$являются$x$и$y$компоненты направляющих косинусов направления луча и$n$- показатель преломления во входной плоскости в положении опорного луча. количества$n\,\gamma_x$и$n\,\gamma_y$— оптические импульсы , сопряженные (в смысле гамильтоновой механики) положениям$x$и$y$; интересно, они действительно эквивалентны (по модулю масштабирования константой$\hbar\,\omega/c$) к$x$и$y$компоненты фотонного импульса$\hbar\,\vec{k}$, где$\vec{k}$волновой вектор, но этот факт в стороне. (1) описывает наши точки в оптическом фазовом пространстве.

Теперь мы запишем матрицы, представляющие линеаризованное действие каждого оптического компонента, о котором только можно подумать; например, тонкая линза (представляющая параксиальное поведение оптической поверхности) придаст матрице:

Если вы изучите действие этой матрицы, то увидите, что она преобразует коллимированный луч в луч, сходящийся к точке на расстоянии$f$от входной плоскости.

Ключевым моментом, на который следует обратить внимание, является то, что определитель этой матрицы равен 1. Если вы просмотрите список всех возможных пассивных оптических компонентов, вы обнаружите, что все матрицы, описывающие их параксиальное поведение, имеют определитель, равный единице (они унимодулярны). ). Таким образом, все они перемножаются вместе, чтобы получить унимодулярную матрицу переноса лучей всей системы, построенной из этих подсистем, соединенных вместе.

Этот определитель является якобианом общего, нелинеаризованного, неаппроксимативного преобразования, которое система оказывает на любую систему лучей. Мы можем представить себе пересчет матрицы из каждой окрестности каждого главного луча в произвольном, не бесконечно малом объеме лучей в фазовом пространстве. Все эти матрицы будут унимодулярными, поэтому мы показали ключевую идею:

Якобиан$J(X)$преобразование, производимое любой пассивной оптической системой, равно единству во всех точках .$X$в фазовом пространстве .

Это означает, что если мы вычислим объем$\int\mathrm{d}V$системы лучей в фазовом пространстве, то объем их изображений$\int\,J(X)\,\mathrm{d}V$будет точно таким же для любого пассивного оптического компонента. Итак, мы показали точную версию закона сохранения этендю для оптики, не прибегая к полному механизму симплектической геометрии и гамильтоновой механики.