Помогите со сходимостью рекурсивной последовательности

Определим последовательность действительных чисел { Икс н } в рекурсивной форме, где Икс 0 "=" 0 и

Икс н "=" Икс н − 1 2 + 2 3
для н ≥ 1.

Нам нужно доказать, что эта последовательность сходится, и вычислить лим н → ∞ Икс н .

Я думаю, что знаю, как сделать вторую часть, часть лимита.
Предположим, что лим н → ∞ Икс н "=" л . Затем л "=" л 2 + 2 3 и мы находим решение для л (возможные решения л "=" 1 или л "=" 2 ).

Но, конечно, все это зависит от первой части, показывающей сходимость последовательности, и я не знаю, как начать с этой конкретной последовательности.
Все, что я вижу, это то, что Икс 0 < Икс 1 , что 2 3 есть нижняя граница последовательности и что последовательность медленно возрастает (очевидно, в какой-то момент последовательность увеличивается настолько мало, что имеет верхнюю границу в точке л "=" 1 или 2 , скорее всего 2 ).

Я был бы признателен за некоторые предложения о том, как это решить. Спасибо!

Ответы (3)

Ясно, что ∀ н е Н , Икс н > 0.

Докажем, что последовательность возрастает.
Для любого н ≥ 2 является

Икс н + 1 − Икс н "=" ( Икс н − Икс н − 1 ) ( Икс н + Икс н − 1 ) 3
Отсюда и разница ( Икс н + 1 − Икс н ) имеет постоянный знак, который положителен, потому что Икс 1 > Икс 0 . Последовательность увеличивается.

Сейчас, Икс 0 < 1. По индукции из Икс н < 1 мы делаем вывод

Икс н + 1 < 1 + 2 3 "=" 1.

Последовательность является возрастающей и ограничена сверху 1.

Простой индуктивный аргумент показывает Икс н < 1 для всех н . Кроме того, обратите внимание, что

Икс н + 1 − Икс н "=" Икс н 2 + 2 3 − Икс н "=" ( Икс н − 1 ) ( Икс н − 2 ) 3 > 0
Таким образом, { Икс я } является ограниченной возрастающей последовательностью и, следовательно, сходится.

В качестве подсказки попробуйте показать, что

  • 0 ≤ Икс н < 1 для любого н ;
  • Икс н + 1 > Икс н для любого н .

Докажите приведенные выше утверждения индукцией по н .

Возрастающая часть: Когда n=1, то Икс 1 "=" 2 / 3 > Икс 0 "=" 0 . Пусть n=k и пусть Икс к < Икс к + 1 . Затем Икс к + 1 "=" ( Икс к 2 + 2 ) 3 < Икс к + 2 "=" ( Икс к + 1 2 + 2 ) 3 по индуктивному предположению ( Икс к < Икс к + 1 ), верно?
Да, это правильно.
Помогите со сходимостью рекурсивной последовательности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v